1、北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题）1. 若集合A=0，1，2，4，B=1，2，3，则AB=（）A. 1,2,3,B. C. D. 2. 已知ln2=a，ln3=b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A. B. C. abD. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）A. B. C. D. 4. 设函数，则的值为（）A. 0B. 1C. D. 不存在5. 已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D. 6. 设a、b是实数，则“ab0
2、”是“a2b2”的（）A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是（）A. B. C. D. 8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）9. 函数f（x）=的定义域为_10. 已知函数则=_；若f（x）=1，则x=_11. 函数（x1）的最小值是
3、_；取到最小值时，x=_12. 设a为常数，函数f（x）=x2-6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a=_13. 定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+）是增函数，f（3）=0，则不等式f（x）0的解集为_ 14. 能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_15. 已知非空集合A，B满足以下两个条件：（）AB=1，2，3，4，AB=；（）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素那么用列举法表示集合A为_16. 对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若ff（x0）=x0，则称
4、x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A=x|f（x）=x，B=x|ff（x）=x，那么：（1）函数g（x）=x2-2的“不动点”为_；（2）集合A与集合B的关系是_17. 若x、yR+，且，则的最大值为_18. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x2-2ax+a，其中aRf（-）=_若f（x）的值域是R，则a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）19. 已知全集U=R，集合P=x|x（x-2）0，M=x|axa+3（）求集合UP；（）若a=1，求集合PM；（）若UPM，求实数a的取值范围20. 解下列
5、关于x的不等式（）（x-1）（x-2）0；（）|2x-1|3；（）x2-（3a+1）x+2a（a+1）021. 已知函数（）求ff（1）的值；（）若f（x）1，求x的取值范围；（）判断函数在（-2，+）上的单调性，并用定义加以证明22. 已知函数f（x）=x2-2ax+1，x0，2上（）若a=-1，则f（x）的最小值；（）若，求f（x）的最大值；（）求f（x）的最小值23. 如果定义在0，1上的函数f（x）同时满足：f（x）0；f（1）=1若x10，x20且x1+x21，则f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立那么就称函数f（x）为“梦幻函数”（）分别判断函数f（x）=x与g（x）=2x，
6、x0，1是否为“梦幻函数”，并说明理由；（）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24. 设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）（1）若a=1，b=2写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=0，1，2，4，B=1，2，3
7、，AB=0，1，2，41，2，3=1，2故选：C直接利用交集的运算得答案本题考查交集及其运算，是基础题2.【答案】D【解析】解：In2=a，In3=b，又log32=log32=故选：D由已知中In2=a，In3=b，用换底公式可将log32化用自然对数表示的形式，代入In2=a，In3=b，即可得到答案本题考查的知识点是换底公式的应用，在对数运算中，如果两个对数的底不一样则无法使用对数的运算性质，故换底公式是对数运算中最重要的公式之一，一定要熟练掌握3.【答案】A【解析】解：函数f（x）=ln|x|是偶函数又在区间（0，+）上单调递增，满足题意；函数f（x）=2-x是非奇非偶函数，不满足题意
8、；函数f（x）=x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）=-x2是偶函数，但在区间（0，+）上单调递减，不满足题意；故选：A逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质，是解答的关键4.【答案】B【解析】解：函数，f（-）=0，=f（0）=1故选：B推导出f（-）=0，从而=f（0），由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较本题属中档题本题先将a、b、c的大小与1作个比
9、较，发现b1，a、c都小于1再对a、c的表达式进行变形，判断a、c之间的大小。【解答】解：由题意，可知：a=log521，b=log0.50.2=log25log24=2c=0.50.21，b最大，a、c都小于1a=log52=，c=0.50.2=而log25log24=2，ac，acb故选A6.【答案】C【解析】解：若ab0，则a2b2成立，若a=-2，b=1，满足a2b2，但ab0不成立，故“ab0”是“a2b2”的充分不必要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键7.【答案】C【解析】解：f（x）=-lo
10、g2x，f（2）=20，f（4）=-0，满足f（2）f（4）0，f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C可得f（2）=20，f（4）=-0，由零点的判定定理可得本题考查还是零点的判断，属基础题8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【解答】解：lgE=4.8+1.5M，lgE1=4.8+1.58=16.8，lgE2=4.8+1.57.5=16.05，lgE1-lgE2=0.75，=100.75，100.7590.75=31.5=35，且小于6，的值所在的区间为（5，6），故选：B9.【
11、答案】2，+）【解析】解：由题意得：2x-40，解得：x2，故函数的定义域是2，+），故答案为：2，+）根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题10.【答案】4；【解析】解：函数，则=f（log）=f（2）=22=4，若f（x）=1，若x1，可得2x=1，解得x=0（舍去）；若0x1，可得logx=1，解得x=，综上可得x=故答案为：4，由分段函数的各段的解析式，计算可得所求函数值，解方程可得f（x）=1的解本题考查分段函数的运用：求函数值和自变量的值，考查对数和指数的运算性质，考查运算能力，属于基础题11.【答案】2 1【解析
12、】解：x1，x-10，由基本不等式可得y=x+=x-1+1+1=2，当且仅当x-1=即x=1时，函数取得最小值2故答案为：2；1由已知可知x-10，由y=x+=x-1+1，结合基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题12.【答案】3【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2-6x+3=（x-3）2-6，为二次函数且其对称轴为x=3，f（x+a）=（x+a-3）2-6，为偶函数，必有a=3；故答案为：3根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2-6x+3=（x-3）2-6，分析可得二次函数且其对称轴为x=3，由函数图象的平移变化规律分析可得答案本题考查函数的奇偶性的性
13、质以及判断，涉及二次函数的奇偶性，属于基础题13.【答案】（-3，0）（3，+）【解析】解：f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+）上是增函数，f（x）在（-，0）上也是增函数，由f（-3）=0，得-f（3）=0，即f（3）=0，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：f（x）0的解集为：（-3，0）（3，+），故答案为：（-3，0）（3，+）易判断f（x）在（-，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键14.【答案】-1，-2，-3【
14、解析】【分析】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题，则若abc，则a+bc”是真命题，举例即可，本题答案不唯一.【解答】解：设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题，则若abc，则a+bc”是真命题，可设a，b，c的值依次-1，-2，-3，（答案不唯一），故答案为-1，-2，-3.15.【答案】3或1，2，4【解析】解：（）AB=1，2，3，4，AB=；（）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素则A，B不能为空集，且A，B不能均为二元集合，若A含一个元素，则该元素只能是3，即A=1若A含三个元素，
15、则元素不能有3，即A=1，2，4故答案为：3或1，2，4（答对一个给3分）根据已知中（）AB=1，2，3，4，AB=；（）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素可得A，B不能为空集，且A，B不能均为二元集合，进而得到答案本题考查的知识点是集合元素与集合的关系，分类讨论思想，难度中档16.【答案】x0=2，或x0=-1 BA【解析】解：（1）若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，即即A=x|f（x）=x，设函数g（x）=x2-2的“不动点”为x0，x02-2=x0，求得x0=2，或x0=-1，故A=2，-1故答案为：x0=2，或x0=-1（2）满足ff（x0
16、）=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，即B=x|ff（x）=x函数g（x）=x2-2，函数gg（x）=g2（x）-2=x2-22-2=x4-4x2+2，由gg（x）=x2，可得x4-4x2+2=x，求得x=2，故B=2，BA，故答案为：BA（1）根据新定义，用待定系数法求出函数g（x）=x2-2的“不动点”（2）根据gg（x）=x，求出x的值，可得B，从而得到A与B的关系本题主要考查新定义，函数与方程的综合应用，属于中档题17.【答案】【解析】解：x、yR+，且，y=，x0，y=0，0，则=，结合二次函数的性质可知，当=2即x=时，取得最大值故答案为：由已知可得，y=，结合x，y都为正数可
17、进一步确定x的范围，然后代入后，结合二次函数的性质可求本题主要考查了二次函数的最值的求解，解题的关键是确定x的范围18.【答案】- （-，01，+）【解析】解：f（-）=-f（）=-（）2-a+a=-；因为f（x）是R上的奇函数，且值域为R，所以x0时，=（-2a）2-4a0，解得：a0或a1；故答案为：-；（-，01，+）根据奇函数的性质；结合奇函数的性质以及二次函数的图象分析可得本题考查了了函数奇偶性的性质与判断属基础题19.【答案】解：（）全集U=R，集合P=x|x（x-2）0=x|x0或x2，集合UP=x|0x2（）a=1时，M=x|axa+3=x|1x4集合PM=x|2x4（）集合U
18、P=x|0x2，M=x|axa+3，UPM，解得-1a0实数a的取值范围是-1，0【解析】（）先求出集合P=x|x（x-2）0=x|x0或x2，全集U=R，由此能求出集合UP（）a=1时，M=x|axa+3=x|1x4由此能求出集合PM（）由集合UP=x|0x2M=x|axa+3，UPM，列不等式组，能求出实数a的取值范围本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.【答案】解：（）由（x-1）（x-2）0，可得1x2，故原不等式的解集为x|1x2（）由|2x-1|3，可得-32x-13，求得-1x2，故原不等式的解集为（-1，2
19、）（）由x2-（3a+1）x+2a（a+1）0，可得x-（2a）x-（a+1）0，当2aa+1时，即a1时，不等式的解集为（-，a+1）（2a，+）；当2a=a+1时，即a=1时，不等式的解集为x|x2；当2aa+1时，即a1时，不等式的解集为（-，2a）（a+1，+）【解析】（）直接解一元二次不等式，求得（x-1）（x-2）0的解集（）解绝对值不等式，求得|2x-1|3的解集（）不等式即x-（2a）x-（a+1）0，分类讨论2a和a +1的大小关系，求出x的范围本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于中档题21.【答案】解：（）ff（1）=；（）由f（x）1得，化简得，x-2，x
20、的取值范围为（-，-2）；（），f（x）在（-2，+）上是增函数，证明如下：设x1x2-2，则：=，x1x2-2，x1-x20，x1+20，x2+20，f（x1）f（x2），f（x）在（-2，+）上是增函数【解析】（）可以求出，然后代入x=即可求出ff（1）的值；（）根据f（x）1即可得出，化简然后解分式不等式即可；（）分离常数得出，从而可看出f（x）在（-2，+）上是增函数，根据增函数的定义证明：设任意的x1x2-2，然后作差，通分，得出，然后说明f（x1）f（x2）即可得出f（x）在（-2，+）上是增函数本题考查了已知函数求值的方法，分式不等式的解法，分离常数法的运用，增函数的定义，考查了
21、计算能力和推理能力，属于基础题22.【答案】解：（）当a=-1时，f（x）=x2+2x+1，因为x0，2，f（x）min=1；（）当，f（x）=x2-x+1，因为x0，2，f（x）max=3；（）当a0时，f（x）min=1，当0a2时，f（x）min=1-a2，当a2时，f（x）min=5-4a，综上：【解析】（）（）根据二次函数的图象和性质可以解得f（x）的最值；（）轴动区间定，分类讨论求最小值即可本题主要考查二次函数的图象及性质，属于基础题23.【答案】解：（）显然，在0，1上满足f（x）=x0，g（x）=2x0；f（1）=1，g（1）=2；若x10，x20且x1+x21，则f（x1+x
22、2）-f（x1）+f（x2）=x1+x2-x1+x2=0，即f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立；f（x）=x是“梦幻函数”，g（x）=2x不是“梦幻函数”；（）设x1，x20，1，x1x2，则x2-x1（0，1，f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x2-x1+x1）f（x1）-f（x1）+f（x2-x1）=-f（x2-x1）0，f（x1）f（x2），f（x）在0，1单调递增，令x1=x2=0，x10，x20且x1+x21，则f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立，02f（0），又f（x）0，f（0）=0，当x=0时，f（x）取最小值f（0）=0，当x=1时，f（x）取最大值f（
23、1）=1【解析】（）根据f（x）的解析式，依次判断对于三个条件是否成立，只要一个不满足就不是“梦幻函数”，进而求解；（）根据“梦幻函数”的定义，利用条件可以证明f（x）的单调性，进而求解；属于信息题，考查接受新知识、理解新知识、运用新知识的能力，函数的单调性、最值，属于中档题；24.【答案】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），可得a-b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数即有xax2+bx+c
24、x2+恒成立，令x=1可得1a+b+c1，即为a+b+c=1，即1-b=a+c，又ax2+（b-1）x+c0恒成立，可得a0，且（b-1）2-4ac0，即为（a+c）2-4ac0，即有a=c；又（a-）x2+bx+c-0恒成立，可得a，且b2-4（a-）（c-）0，即有（1-2a）2-4（a-）20恒成立故存在常数a，b，c，且0a=c，b=1-2a，可取a=c=，b=满足题意【解析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题