1、1.1.2 四种命题【自主预习】1.原命题与逆命题 条件 结论 若q，则p 2.原命题与否命题 否定 若p，则q 3.原命题与逆否命题 若q，则p 否定 互换【即时小测】1.“若x2=1,则x=1”的否命题为()A.若x21,则x=1 B.若x2=1,则x1 C.若x21,则x1 D.若x1,则x21【解析】选C.否命题是对原命题的条件和结论分别否定,所以其否命题为“若x21,则x1”.2.已知命题p:“若xa2+b2,则x2ab”,则下列说法正确的是()A.命题p的逆命题是“若xa2+b2,则x2ab”B.命题p的逆命题是“若x2ab,则xa2+b2”C.命题p的否命题是“若xa2+b2,则
2、x2ab”D.命题p的否命题是“若xa2+b2,则x2ab”【解析】选C.命题p的逆命题是“若x2ab,则xa2+b2”,故A,B都错,命题p的否命题是:“若xa2+b2,则x0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0 2.若命题p的逆命题是q,q的逆否命题是r,则命题r是命题p的()A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.无法确定【解题探究】1.一个命题的逆否命题的条件和结论与原命题有什么关系?提示:把原命题的条件
3、和结论否定后再交换位置.2.判断四种命题间关系的关键是什么?提示:各个命题的条件和结论.【解析】1.选D.一个命题的逆否命题是将原命题的条件、结论加以否定,并且加以互换.2.选B.设命题p为“若a,则b”,由题意得:命题q:若b,则a 命题r:若a,则b 所以命题r是命题p的否命题.【延伸探究】本例1中命题的逆命题和否命题是什么?【解析】逆命题:若方程x2+x-m=0有实根,则m0;否命题:若m0,则方程x2+x-m=0没有实根.【方法技巧】四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条
4、件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.【拓展延伸】常见词语的否定 词语 是 都是 至少有 n个 至多有n个 否定 不是 不都是 至多有 n-1个 至少有n+1 个【变式训练】1.命题“若=,则tan=1”的逆否命题是()A.若 ,则tan=1 B.若=,则tan 1 C.若tan 1,则 D.若tan 1,则=44444【解析】选C.交换原命题的条件和结论并同时否定,即得原命题的逆否命题,所以应选C.2.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是()A.若a-b,则|a|b|B.若a=-b,则|a|b|C.若|a|b|,则a-b D.若|a|=|b|,则a=-
5、b【解析】选D.交换原命题的条件和结论可以得到原命题的逆命题.类型二 四种命题真假的判断【典例】1.有下列命题:“若x2+y2=0,则x,y全是0”的否命题;“全等三角形是相似三角形”的否命题;“若m1,则mx2-2(m+1)x+m+30的解集是R”的逆命题;“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题.其中为真命题的是()A.B.C.D.2.已知命题“若m-1xm+1,则1x2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是_.【解题探究】1.典例1中如何否定“x,y全是0”?提示:x,y不全是0.2.典例2中逆命题为真的含义是什么?提示:可以由1x2推出m-1x0的解集为“R”,则m1”.因为当m=0
6、时,解集不是R,所以应有 即m1.所以其逆命题是假命题.m00，逆否命题为“若a不是无理数,则a+7不是无理数”,显然当a是有理数时,a+7也是有理数,故逆否命题为真.2.由已知得,若1x2成立,则m-1xb,则ac2bc2(a,b,cR)”与 它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 ()A.0 B.2 C.3 D.4【解析】选B.原命题“若ab,则ac2bc2(a,b,cR)”为假命题;逆命题“若ac2bc2,则ab(a,b,cR)”为真命题;否命题“若ab,则ac2bc2(a,b,cR)”为真命题;逆否命题“若ac2bc2,则ab(a,b,cR)”为假命题.【补偿训练】(2016海
7、淀高二检测)命题“如果直线l垂直于平面 内的两条相交直线,则直线l垂直于平面”的否命题是_;该否命题是_(填“真”或“假”)命题.【解析】命题“如果直线l垂直于平面内的两条相交直线,则直线l垂直于平面”的否命题是:如果直线l不垂直于平面内的两条相交直线,则直线l不垂直于平面;直线与平面垂直的充要条件是直线与平面内的所有直线都垂直,所以命题的否命题是真命题.答案:如果直线l不垂直于平面内的两条相交直线,则直线l不垂直于平面 真 自我纠错 逆否命题的改写【典例】(2016荆州高二检测)命题:“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是_,是_(填“真”或“假”)命题.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是否定“都是”时出现错误,从而导致真假性判断错误,“都是”应否定为“不都是”.【解析】逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数.是真命题.答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数 真