1、第11讲导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性考纲解读1.了解函数的单调性与导数的关系(重点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预测2021年会考查函数的单调性与导数的关系，题型有两个：利用导数确定函数的单调性；已知单调性利用导数求参数的取值范围常以解答题形式出现，属中档题.函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)在(a，b)
2、内f(x)0且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减()答案(1)(2)(3)2小题热身(1)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是()答案C解析由yf(x)的图象易得，当x0；当0x2时，f(x)0.所以函数yf(x)在(，0)和(2，)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故选C.(2)f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4) B(0,2) C(4，) D(，0)答案A解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0得0x0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.(4)已知f(x)
3、x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_答案3解析由题意，得f(x)3x2a0对x1，)恒成立，即a3x2对x1，)恒成立，所以a3.经检验a3也满足题意，所以a的最大值是3.题型一不含参数的函数的单调性1函数f(x)exex，xR的单调递增区间是()A(0，) B(，0)C(，1) D(1，)答案D解析依题意得f(x)exe.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)exe0，解得x1.2函数f(x)的单调递增区间是()A(，1) B(1,1)C(1，) D(，1)或(1，)答案B解析函数f(x)的定义域为R，f(x).要使f(x)0，只需
4、(1x)(1x)0，解得x(1,1)3已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x(x0)则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.但1(0，)，舍去当x(0,5)时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(5，)，单调递减区间为(0,5)条件探究将本例中的函数变为f(x)x2ln x，试求f(x)的单调区间解f(x)x2ln x的定义域为(0，)，f(x)x，
5、令f(x)0，解得x1或x1(舍去)当x(0,1)时，f(x)0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)确定不含参数的函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f(x).(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.1.已知函数f(x)xln x，则f(x)()A.在(0，)上单调递增 B在(0，)上单调递减C.在上单调递增 D在上单调递减答案D解析f(x)xln xx(ln x)ln x1.由f(x)0得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，故只有D正确.2.(2019开
6、封调研)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsinxcosx，则f(x)的单调递增区间是_.答案，解析因为f(x)xsinxcosx，所以f(x)sinxxcosxsinxxcosx.令f(x)0，得xcosx0.又因为x，所以x或0x0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上
7、单调递增.条件探究2将本例中的函数变为f(x)ex(exa)a2x，讨论f(x)的单调性.解函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.若a0，则由f(x)0得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.确定含参数的函数的单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f(x)，并尽量化为乘积或商的形式.(3)令f(x)0，若此方程在定义域内无解，
8、考虑f(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间如举例说明中a1时，f(x)0，a0时，f(x)0.若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f(x)的符号确定单调区间如举例说明中0a0)的单调性.解(1)由题意，得f(x)xex2x，则f(1)e2.又f(1)1，故所求切线方程为y(1)(e2)(x1)，即y(e2)x1e.(2)由已知，得h(x)f(x)g(x)(xa1)exx22axa210.此函数的定义域为(0，).则h(x)ex(xa1)ex2x2a(xa)(ex2).若a0，则xa0.当0xln 2时，h(x)ln 2时，h(x)0.所以h(x)在(0，ln
9、 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增.若0aln 2，则当0xln 2时，h(x)0.当axln 2时，h(x)ln 2，则当0xa时，h(x)0；当ln 2xa时，h(x)0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.题型三函数单调性的应用问题角度1辨别函数图象1.函数f(x)的大致图象是()答案C解析f(x)，则函数在上单调递增，在和上单调递减，且f(1)f(0)0，故选C.角度2比较大小或解不等式2.设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(3,0
10、)(3，) B(3,0)(0,3)C.(，3)(3，) D(，3)(0,3)答案A解析f(x)g(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)0.f(x)g(x)在(，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)0，f(x)g(x)在(0，)上也是增函数f(3)g(3)0，f(3)g(3)0.f(x)g(x)0的解集为(3,0)(3，)故选A.角度3根据函数单调性求参数3.设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1,2 B4，)C.(，2 D(0,3答案A解析f(x)的定义域是(0，
11、)，f(x)x，当0x3时，f(x)0，f(x)单调递减，又f(x)在区间a1，a1上单调递减，a1，a1(0,3，解得1a2.4.已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围.解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min即可.而G(x)21，所以G(x)min1.所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(
12、0，).(2)因为h(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立.由(1)知G(x)，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，).1.根据函数解析式识别函数图象的思路根据函数解析式识别函数图象的基本思路是研究函数性质，包括函数的定义域、奇偶性和单调性，其中单调性的研究往往要使用导数知识(定义域、奇偶性、特殊值法在复杂一些的函数中不能完全确定函数的图象)如举例说明1.2.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先
13、利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xf(x)f(x)xf(x)；(3)xf(x)f(x)；(4)f(x)f(x)exf(x)；(5)f(x)f(x).3.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围如举例说明3.(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0，则对于任意的a，b(0，)，当ab时，有()A.af(a)bf(b)C.af(b)bf(a) Daf(b)000，即xf(x)x0.x0，xf(x)0，即函数yxf(x)在(0，)上为增函数，由a，b(0，)且ab，得af(a)bf(b)，故选B.3.(2019北京高考)设函数f(x)exaex(a为常数)若f(x)为奇函数，则a_；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是_.答案1(，0解析f(x)exaex(a为常数)的定义域为R，f(0)e0ae01a0，a1.f(x)exaex，f(x)ex.f(x)是R上的增函数，f(x)0在R上恒成立，即ex在R上恒成立，ae2x在R上恒成立.又e2x0，a0，即a的取值范围是(，0.