1、课后素养落实(九)距离问题(建议用时：40分钟)一、选择题1若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()AB2CDD()(4,3,6)，(0,1,0)，|.2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为()AB CDC建立空间直角坐标系，如图，则C(1,1,0)，C1(1,1,1)，E，所以，(0,0,1)，所以在上的投影长度为，所以点C1到直线EC的距离d.故选C3如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2，则点P到平面BQD的距离
2、为()AB CDB如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，(3,0，1)，(3,4,0)，(0,0,1)设平面BQD的法向量为n(x，y，z)，则即令x4，则y3，z12，n(4,3,12)点P到平面BQD的距离d.4已知三棱锥OABC中，OAOB，OBOC，OCOA，且OA1，OB2，OC2，则点A到直线BC的距离为()AB CD3B以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，(1,2,0)，(0，2,2)，取a
3、(1,2,0)，u.则点A到直线BC的距离为.5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()ABCDB以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)因为O为A1C1的中点，所以O，(1,0,1)，(0,1,0)设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则有即取x1，则n(1,0,1)，O到平面ABC1D1的距离为d.二、填空题6直角ABC的两条直角边BC3，AC4，P
4、C平面ABC，PC，则点P到斜边AB的距离是_3以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，所以(4,3,0)，.取a.u，则P到AB的距离为d3.7已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则平面外的点P(2,1,4)到平面的距离为_由题意可知(1,2，4)设点P到平面的距离为h，则h.8.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中 ，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为_以点D为坐标原点，直线
5、DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则E，F，G，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，(1,0,0)，(1,0,0)，.又EF平面EFGH，D1A1平面EFGH，D1A1平面EFGH.A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离设平面EFGH的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z6，则y1，n(0，1,6)，又，点D1到平面EFGH的距离d，A1D1到平面EFGH的距离为.三、解答题9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1
6、(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(1,0,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1,1,1)，点D1到平面A1BD的距离d.易证平面A1BD平面B1CD1，平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.10.已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解(1)建立以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示则P(
7、0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，所以，设平面PEF的法向量n(x，y，z)，则即令x2，则y2，z3，所以n(2,2,3)，所以点D到平面PEF的距离d，因此点D到平面PEF的距离为.(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC又因为AC平面PEF，EF平面PEF，所以AC平面PEF.因为，所以点A到平面PEF的距离d.所以直线AC到平面PEF的距离为.1如图，ABCDEFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为()ABCDC如图，分别以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可作为x，y，z轴
8、方向上的单位向量，因为，所以，(1,0,0)，所以P点到AB的距离d.2如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG的距离为()AB CD1B以C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2，4,2)设平面EFG的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，则y1，z3，则m(1,1,3)，点B到平面EFG的距离d.3在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BC
9、AD，ABC90，PAABBC2，AD1，则AD到平面PBC的距离为_AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离由已知可得AB，AD，AP两两垂直以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则(2,0，2)，(0,2,0)设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即取a1，得n(1,0,1)，又(2,0,0)，所以d.4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_如图所示，建立空间直角
10、坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)(2,2,0)，(2,2,0)，(2,0,4)，(2,0,4)，EFMN，BFAM，EFBFF，MNAMM.平面AMN平面EFBD设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，则解得取z1，则x2，y2，得n(2，2,1)平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离(0,4,0)，平面AMN与平面EFBD间的距离d.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC
11、2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解取AD的中点O，在PAD中，PAPD，POAD又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，则(1,0,1)，(1,1,0)假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y,0)(1y1)，则(1，y,0)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1,1,1)点Q到平面PCD的距离d，y或y(舍去)此时，则|，|.存在点Q满足题意，此时.