1、课后素养落实(六)空间中点、直线和平面的向量表示(建议用时：40分钟)一、选择题1已知向量a(2，1,3)和b(4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是()A1B1或1C3D1A由题意知ab，则有，解得x1，故选A2(多选题)若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是()ABCDABC由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C选项正确3对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则()AO，A，B，C四点必共面BP，A，B，C四点必共面CO，
2、P，B，C四点必共面DO，P，A，B，C五点必共面B对于空间任一点O和不共线三点A，B，C，若点P满足xyz(x，y，zR)且xyz1，则P，A，B，C四点共面而，其中1，所以P，A，B，C四点共面故选B4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1,1，1)B(1，1,1)C(1,1,1)D(1，1，1)D(1,1,0)(1,0,1)，设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，则即xyz，故选D5.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是()A平面ABB1A1的一个法向量为(0,1
3、,0)B平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)AC对于A，由AD平面ABB1A1知(0,1,0)是平面ABB1A1的一个法向量，故A正确对于B，由BC1平面B1CD知(0,1,1)是平面B1CD的一个法向量，故B错误对于C，由AC1平面B1CD1知(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确对于D，由DA1平面ABC1D1知(0，1,1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误综上，选AC二、填空题6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有_
4、个8寻找直线AB的方向向量，先找出与直线AB平行或重合的直线，以直线上任意两点分别为起点和终点的向量即为所求直线AB的方向向量有：，共8个7.如图，在正三棱锥SABC中，点O是ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是_，平面SAD的一个法向量可以是_(答案不唯一)在正三棱锥SABC中，点O是ABC的中心，点D是棱BC的中点，SO平面ABC，BC平面SAD，是平面ABC的一个法向量，是平面SAD的一个法向量8已知向量b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)，若在直线AB上，存在一点E，使得b(O为原点)，则E点的坐标为_t(3，1,4)t(1，1，2)(3t
5、，1t,42t)，因为b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时E点的坐标为.三、解答题9已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，2)(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面经过点A，且BC是的法向量，M(x，y，z)是平面内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式解(1)B(2,0,0)，C(0,2，2)，(2,2，2)，即(2,2，2)为直线BC的一个方向向量(2)由题意(x2，y2，z2)，平面，AM，(2,2，2)(x2，y2，z2)0.2(x2)2(y2)2(z2)0.xyz2.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
6、E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，(1,0,0)0，0，.又A1D1D1FD1，AE平面A1D1F，是平面A1D1F的法向量1已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A(1,1,1)BCDB设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，又(0，1,1)，(1,1,0)，则xyz，又单位向量的模为1，故只有B正确2已知空间三点坐标分别为A(1,1,1)，B(0,3,0)，C(2，1,4)，点P(3，x,
7、3)在平面ABC内，则实数x的值为()A1B2C0D1A(1，2,1)，(2，4,4)，(3，x3,3)，可设yz(y，zR)，则故选A3若A，B，C是平面内三点，设平面的法向量为a(x，y，z)，则xyz_.23(4)由已知得，a是平面的一个法向量，a0，a0，即解得xyzyy23(4)4已知点A(1,1，4)，B(2，4,2)，C为线段AB上的一点，且，则C点坐标为_设C(x，y，z)，(x1，y1，z4)，(1，5,6)，由得C.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面是直角梯形，ADBC，ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量解以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则，.向量是平面SAB的一个法向量设n(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，则即取x2，得y1，z1，故平面SDC的一个法向量为(2，1,1)