1、1.1.2 弧度制 1.度量角的两种制度单位制内容角度制周角的 为1度角，记作1；用_作为单位来度量角的单位制叫做角度制弧度制长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧 度的角.1弧度记作1_，以_为单位来 度量角的单位制叫做弧度制1360半径长rad弧度度2.角度制与弧度制的换算(1)弧度数正角的弧度数是一个_.负角的弧度数是一个_.零角的弧度数是_.正数负数0(2)弧度数的计算|=.如图：rl(3)角度制与弧度制的换算3.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(00)的角，弧AB和AB的长分别是l和l，点A和A到点O的距离(即圆的半径)分别是r(r0)和r(r0)，由初中学过的弧长公式可
2、得：于是 因此用圆心角所对的弧长与半径之比来度量这个圆心角是合理的.n rn r,180180 lln,rr180ll2.引入弧度制的意义 引入了弧度制后，统一了角度与长度的单位，使角的集合与实数集之间建立了一一对应的关系即每一个角都有唯一一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一一个角(角的弧度数就等于这个实数)与它对应为下面学习三角函数做了知识上的铺垫.【微思考】(1)角1这种表达方式正确吗？提示：正确用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角1就表示是1 rad的角(2)单位长度的弧长所对的圆心角是1弧度吗？提示：不是.只有在以单位长度为半径的圆中
3、，单位长度的弧所对的圆心角才是1弧度的角.【即时练】1.下列说法正确的是()A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位【解析】选D.根据1弧度的定义，我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即可判断D正确 2.(2014抚顺高一检测)下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1度的角是圆周的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角C.根据弧度的定义知，180度一定等于 radD不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关
4、136012【解析】选D.根据角度与弧度的定义可知，无论是角度制还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D错误.知识点 2 弧度制下弧长公式、扇形面积公式对弧度制下弧长公式和扇形面积公式的三点说明(1)由公式可知，由，l，R，S中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二.(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是在弧度制的前提下.(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：lR，R.R ，ll2212SSR.2R，【微思考】扇形的两种面积公式选择的依据是什么？提示：若已知弧长时，可使用 若已知圆心角时，可使用 无论使用哪种公式，
5、都必须有半径R.1SR2，l21SR,2【即时练】1.已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是_【解析】1.因为R16，2 rad，所以lR21632.答案：32 2.已知扇形的半径为1，圆心角为1弧度，则其面积是_.【解析】由弧长公式可得扇形的弧长为1，故其面积为 答案：11S1 122 12【题型示范】类型一 角度和弧度的互化及应用【典例1】(1)将下列角度与弧度进行互化.20=_；15=_；=_；=_.(2)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；在0,4中找出与角终边相同的角712115 25【解题探究】1.题(1)中角度和弧度换算的依据是什么？2.解题(2)的关键是
6、什么？解题(2)的关键是什么？【探究提示】1.角度与弧度换算的关键是 1=2.解题(2)时关键是将角度换算为弧度；解题(2)时关键是将弧度换算为角度 1801 rad(),rad.180【自主解答】(1)20 答案：15 答案：答案：105 答案：-396 20.1809915.180121277180()105.12121111180()396.55(2)因为1 480 所以 其中 因为 所以终边与 角相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72=当k1时，432=所以在0,4中与 角终边相同的角为 741 480 rad rad1809，74161099，16.922 1807255，2
7、525；125，25212.55，【方法技巧】角度制与弧度制的互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180=rad，充分利用1=和1 rad=进行换算.(2)方法：设一个角的弧度数为，角度数为n，则 rad=rad180180()180()nn.180；(3)注意点：以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写.以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数.度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.【变式训练】将下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出它们是第几象限角(1)1 725.(2)870.【解析】(1)因为1 7255
8、36075，所以 所以1 725与 的终边相同，故1 725是第一象 限角(2)870 角870与 终边相 同，故870是第二象限角 551 72510().1212 其中51229554()666 其中，56【补偿训练】设集合N|，则MN_.【解析】分别取k1,0,1,2，得 所以MN=答案：kM|kZ23 ，52.63 63，52.63 63，52 63 63，类型二 弧长公式及扇形面积公式的应用【典例2】(1)(2014福州高一检测)已知扇形的圆心角为120，半径为cm，则此扇形的面积为_.(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数【解题探究】1.题(1)中
9、据已知条件，可利用扇形的哪个面积 公式求面积？2.题(2)中需选用扇形的哪个面积公式？3【探究提示】1.由于已知扇形的圆心角和半径，可利用扇形 面积公式S 2.已知周长与面积，故可选用公式【自主解答】(1)设扇形弧长为l，因为120 所以 所以 答案：cm2 1 R.2 l1S=R.2l2120 radrad1803，22 3R3cm33l2112 3SR3cm223l(2)设扇形圆心角的弧度数为(02 rad舍去 当R4时，l2(cm)，此时，2R101 R4.2，ll21 rad.42【延伸探究】在本题(2)中，若扇形的周长10 cm改为40 cm，又如何求它的半径和圆心角取什么值时，才能
10、使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解析】设扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，面积 为S，则l2R40,所以l402R，所以 所以当半径R10 cm时，扇形的面积最大 这个最大值为100 cm2，这时 211SR40 2R R20R RR 10100.22 l402 102 rad.R10 l【方法技巧】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l=R，扇形的面积公式是S 其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角.(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先 分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形 面积公式直接求解或列方程(组)求解.1 R2
11、l21R2，【变式训练】已知扇形AOB的圆心角为半径长为6，求：(1)弧AB的长.(2)扇形所含弓形的面积【解题指南】(1)将角度化为弧度，再根据公式求解弧长.(2)利用扇形面积减去三角形面积.23，【解析】(1)lR 所以弧AB的长为4.(2)S扇形OAB 如图所示，过点O作ODAB，交AB于D点，所以AOD=60,于是有SOAB 所以弓形的面积为S扇形OABSOAB 所以弓形的面积是 26 43，11R4612.22 l2120,3 11AB OD2 6cos 303 9 3.22 129 3.129 3.【补偿训练】已知一扇形的圆心角为半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为_【解
12、题指南】先求出圆的半径r与扇形半径R的比为13，再求它们的面积的比 rad3，【解析】据题意，设内切圆的半径为r,则 故3r=R,即 故内切圆面积为S内切=r2=扇形面积S扇=故 故面积之比为23.答案：23 r1sin 30,Rr2 1rR,32211(R)R,3922211RRR,2236221 RS29.1S3R6内切扇【易错误区】运算时角度制和弧度制混用而致错【典例】(2014西安高一检测)将1 485化成2k(02，kZ)的形式为_【解析】因为1 485436045 4360(360315)5360315，又5360=10，315=所以1 485可以表示为 答案：74，.71047104【常见误区】错解 错因剖析-10+315 若在阴影处只考虑了将-1 485写成了“2k+”的组合形式，而忽视了对的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误【防范措施】角度制与弧度制互化中的要求 在同一式子中，两种单位不能混用，即表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制，如本例中错解就是由于单位混用而致错.【类题试解】把角-690化为2k+(02，kZ)的形式为_.【解析】方法一：因为-690=所以 即-690=方法二：因为-690=-2360+30，所以-690=答案：23(690)1806，234.66 4.6 4.6 46