1、江苏省南京市第五高级中学2020至2021学年高一年级第一学期期末热身测试（数学）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A1，2，3，集合Bx|x24，xR，则AB（ ）A. B. 1C. 1，2D. 1，2，32.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为时，则它的耗氧量的单位数为（ ）ABCD3.已知alog0.81.2，b1.20.8，csin1.2，则a，b，c的大小关系是（ ）A.
2、 abcB. acbC. cabD. cba4.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 5.已知扇形OAB的面积为4，圆心角为2弧度，则的长为（ ）A. 2B. 4C. 2D. 46.若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）ABCD7.函数图象的大致为（ ）A. B. C. D. 8.安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm3，容器倒置后，细沙从容器内流出，tmin后容器内剩余的细沙量为y101+at（单位：cm3），其中a为常数经过4min后发现容器内还剩余5cm3的沙子，再经过xmin后，容器中的沙子剩余量为1.25cm3，则x（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12二、多项选择题
3、：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分9.下列各选项中，值为1的是（ ）A. log26log62B. log62log64C. D. 10.记函数的图象为G，则下列结论正确的是（ ）A. 函数f（x）的最小正周期为B. 函数f（x）在区间上单调递增C. 直线是图象G的一条对称轴D. 将函数ysin2x的图象向右平移个单位长度，得到图象G11.已知函数f（x）x，g（x）x4，则下列结论正确的是（ ）A. 若h（x）f（x）g（x），则函数h（x）的最小值为4B. 若
4、h（x）f（x）|g（x）|，则函数h（x）的值域为RC. 若h（x）|f（x）|g（x）|，则函数h（x）有且仅有一个零点D. 若h（x）|f（x）|g（x）|，则|h（x）|4恒成立12.下列说法正确的有（ ）A. 不等式的解集是B. “a1，b1”是“ab1”成立的充分条件C. 命题则D. “a5”是“a1，b1”是“ab1”成立的充分条件C. 命题则D. “a5”是“a3”的必要条件【答案】ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置上13.1奇函数是定义在上的减函数，若,则实数的取值范围是_【答案】 14.在ABC中，已知，则sinAcosA的值
5、为_，tanA的值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式，求得的值.【详解】由两边平方得.由于是三角形的内角，故为钝角，所以，而，所以.由解得，所以.故答案为：（1）（2）【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16. 已知函数f（x）（xR）是周期为4的奇函数，且当0x2时，则_【答案】【解析】【分析】根据函数的周期性、奇偶性和分段函数解析式，求得所求表达式的值.【详解】.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.16.已知A，B是函数的图象
6、与函数的图象的两个不同的交点，则线段AB长度的最小值是_【答案】【解析】【分析】求得在一个周期内的两个交点坐标，由此求得长度的最小值.【详解】和的周期为，由得，在时，有或，记得或，不妨设，所以长度的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.四、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17(10分)已知集合，则是的充分不必要条件求出m的取值范围【解析】是的充分不必要条件，则且，即，解得，且两个等号不同时成立，解得，故，即实数m的取值范围是18.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x
7、轴的正半轴，终边经过点P（3，m），且（1）求实数m的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义列方程，解方程求得的值.（2）由（1）求得的值，利用诱导公式化简求得表达式的值.【详解】（1）由于角的终边经过点，且，所以，且，从而，即，解得.（2）由（1）知，所以，所以.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题.19.已知函数是奇函数，其中e是自然对数的底数（1）求实数a的值；（2）若f（lgx）f（1）0，求x的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，利用列方程，解方程求得的值.（
8、2）利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，并由此求得不等式的解集.【详解】（1）函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得.（2）由（1）得，由于都在上递增，所以函数在上递增，根据为奇函数得，所以，解得.即不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20.如图，摩天轮的半径为50m，圆心O距地面的高度为65m已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每30min转动一圈游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱（1）游客进入摩天轮的舱位，开始转动tmin后，他距离地面的高度为h，求h关于t的函数解析式；（2）已知在距离地面超过40m的高度，
9、游客可以观看到游乐场全景，那么在摩天轮转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据摩天轮的转动速度，结合三角函数的知识，求得关于的解析式.（2）由列不等式，解不等式求得距离地面超过的时间范围，由此求得游客可以观看到游乐场全景的时间.【详解】（1）如图以摩天轮的圆心为坐标原点，水平方向为周，建立平面直角坐标系.设游客的位置为点.因为摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每转动一圈，所以在内所转过的角为.因为游客是从摩天轮的最低点进入摩天轮的舱位，所以，以轴正半轴为始边，以为终边的角为，因此点的纵坐标为.从而游客距离地面的高度
10、，.（2）令，得，所以，即，令，则.由于在距离地面超过的高度，游客可以观看到游乐场全景，因此，在转动一圈的过程中，游客可以观看到游乐场全景的时间为.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查三角不等式的解法，属于中档题.21.(12分)已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.（1）求的解析式；（2）若在区间上有最小值，求实数的值；（3）设，若当时，函数的图象恒在图象的上方，求实数m的取值范围.【答案】(1) ；(2) 或；(3) .【分析】（1）通过，求出，利用1和3是方程的两根，结合韦达定理，求解函数的解析式（2），对称轴为，分当时、当时、当时情况讨论函数的单调性求解函数的最值
11、即可（3）当，时，恒成立推出，构造函数通过换元法以及函数的单调性求解函数的最值，转化求解实数的取值范围【详解】（1）由，得，又1和3是方程的两根，所以，解得，因此（2），对称轴为，分情况讨论：当时，在，上为增函数，解得，符合题意；当时，在，上为减函数，在，上为增函数，解得，其中舍去；当时，在，上为减函数，（2），解得，不符合题意综上可得，或（3）由题意，当，时，恒成立即，设，则令，于是上述函数转化为，因为，所以，又在，上单调递减，所以当时，于是实数的取值范围是 22.已知函数f（x）sinx，g（x）lnx（1）求方程在0，2上的解；（2）求证：对任意的aR，方程f（x）ag（x）都有解；（3
12、）设M为实数，对区间0，2内的满足x1x2x3x4的任意实数xi（1i4），不等式成立，求M的最小值【答案】（1）或；（2）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，结合同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得方程的解.（2）将分成和两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得，再证得，由此求得的最小值为.【详解】（1）因为，所以，即，且.若，则，与矛盾.所以，从而.又，所以或.（2）当时，由得，即是该方程的一个解；当时，令.因为的图像在区间上连续不断，且，根据零点存在性定理可知，存在，使得.因此，当时，方程有解.综上所述，对任意，方程都有解.（3）先证：.取，.再证：当时，都有，即.若，因为，于是，所以，而，所以.若，所以；若，所以，于是对任意满足条件的，都有.综上所述，的最小值为.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.