1、2020-2021学年度宁海中学高三（上）数学周测卷8一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1设集合Ax|lnx1，Bx|x24x120，则A(RB)( )A(，6)B(2，6)C(0，6D(0，e)2. 已知sin()，则sin(2)（ ）A. B. C. D. 3设a30.7，b()0.8，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )AabcBbacCbcaDcab4. 已知菱形ABCD的边长为4，ABC60，E是BC的中点，2，则（ ） A. 24 B. 7 C. 10 D. 125函数f(x)(x)cosx在其定义域上的图像大致是( )6.意大利“美术三杰”(文艺复
2、兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作 蒙娜丽莎举世闻名画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?7“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作孙子算经1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性
3、定理，因而西方称之为“中国剩余定理”此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则该数列共有( )A202项B203项C204项D205项8. 函数f(x)的定义域为D，若满足：f(x)在D内是单调函数；存在m，nD，使f(x)在m，n上的值域为，那么就称yf(x)为“半保值函数”，若函数f(x)loga(axt2)（a0，且a1）是“半保值函数”，则t的取值范围为（ ）A. (0，) B. (，0)(0，) C. (0，) D. (，)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对得5分，部分选
4、对得3分，不选或有选错的得0分9下列命题正确的是( )A“a1”是“a21”的充分不必要条件B“MN”是“lgMlgN”的必要不充分条件C命题“xR，x210”的否定是“$xR，使得x210”D设函数f(x)的导数为f(x)，则“f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的充要条件10将函数ysinx的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则( )Ayf(x)是偶函数 Byf(x)的最小正周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称 Dyf(x)的图象关于点(，0)对称11在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线xy0上，A，B分别是双
5、曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是A双曲线C的渐近线方程为y2x B双曲线C的方程为y21Ck1k2为定值 D存在点P，使得k1k2112关于函数f(x)aexcosx，x(，)，下列说法正确的是A当a1时，f(x)在x0处的切线方程为yxB若函数f(x)在(，)上恰有一个极值，则a0C对任意a0，f(x)0恒成立D当a1时，f(x)在(，)上恰有2个零点三、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分13.已知复数z满足(1i)z2i，其中i为虚数单位，则复数z的模为_.14 若函数f(x)，是定义在R上的减函
6、数，则a的取值范围为_.15 已知F是抛物线C：y22px(p0)的焦点，设点A(p，1)，点M为抛物线C上任意一点，且MAMF的最小值为3，则p ，若线段AF的垂直平分线交抛物线C于P、Q两点，则四边形APFQ的面积为 （本题第一空2分，第二空3分）16在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2AB2BC2，将ABC沿对角线AC翻折到AMC，连结MD当三棱锥MACD的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）在a1，a2，a5成等比数列，且Tn2bn；S4S，且T
7、n2()n1这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答已知数列an是公差不为0的等差数列，a11，其前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn，若 （1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列的前n项和Qn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18.（本小题满分12分）在四边形ABCD中，AC，E是AD上的点且满足BED与ABD相似，AEB，DBE，DE6.(1)求BD的长度；(2)求三角形BCD面积的最大值.19.（本小题12分）在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，ABAD2， 三角形PBD是边长为2的正三角形，PA2.（1）证明：PC面ABCD；（2）若E为BC中点，F在线
8、段DE上，且，求二面角FPAC的大小.20.（本小题12分）已知f(x)xlnxx21（1）若f(x)在其定义域上为单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数g(x)f(x)xcosxsinxxlnx1在(0，上有1个零点.求实数a的取值范围；21.（本小题满分12分） 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(，)在C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，H(0，)，试判断在椭圆C上是否存在三个不同点Q，M，N(其中M，N的纵坐标不相等)，满足，且直线HM与直线HN倾斜角互补？若存在，求出直线MN的方程，若不存在，说明理由.22.（本小题12分）已知函数f(x)ex1xax2
9、.（1）当x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若x0，证明(ex1)ln(x1)x2.2020-2021学年度宁海中学高三（上）数学周测卷8一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合Ax|lnx1，Bx|x24x120，则A(RB)( )A(，6)B(2，6)C(0，6D(0，e)【答案】B【分析】A(0，e)，RB(2，6)2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D3设a30.7，b()0.8，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )AabcBba
10、cCbcaDcab【答案】D【分析】a1，b30.8a，clog0.70.71，故c1ab4. 已知菱形的边长为4，是的中点，则（ ）A. 24B. C. D. 【答案】D5函数f(x)(x)cosx在其定义域上的图像大致是( )答案：C6.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达芬奇的经典之作 蒙娜丽莎举世闻名画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷,某数学兼艺术爱好者对蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算:将蒙
11、娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间?【答案】B7“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作孙子算经1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则该数列共有( )A202项B203项C204项D205项【答案】B【分析】被2除余1的数：1，3，5，7，9，11，；被5除余1的数：1，6，11，16故
12、an10n9，由10n92021，解得n2038. 函数的定义域为，若满足：在内是单调函数；存在，使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分9下列命题正确的是( )A“a1”是“a21”的充分不必要条件B“MN”是“lgMlgN”的必要不充分条件C命题“xR，x210”的否定是“$xR，使得x210”D设函数f(x)的导数为f(x)，
13、则“f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的充要条件【答案】AB【分析】对于C，命题“xR，x210”的否定是“$xR，使得x210”，错误；对于D，“f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件，错误A，B正确10将函数ysinx的图象向左平移个单位，得到函数yf(x)的图象，则( )Ayf(x)是偶函数Byf(x)的最小正周期为Cyf(x)的图象关于直线x对称Dyf(x)的图象关于点(，0)对称【答案】AD【分析】函数ysinx的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)sin(x)cosx的图象故A，D正确；对于B，f(x)周期为2，错误；对于C，f(x)的图象不关
14、于直线x对称，错误11在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a0，b0)的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线xy0上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为，则下列说法正确的是A双曲线C的渐近线方程为y2x B双曲线C的方程为C为定值 D存在点P，使得1答案：BC12关于函数，x(，)，下列说法正确的是A当a1时，在x0处的切线方程为yxB若函数在(，)上恰有一个极值，则a0C对任意a0，0恒成立D当a1时，在(，)上恰有2个零点答案：ABD三、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分13.已知复数z满足(1i)z2i，其中
15、i为虚数单位，则复数z的模为_.答案：14 若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为_.答案：16 已知F是抛物线C：(p0)的焦点，设点A(p，1)，点M为抛物线C上任意一点，且MAMF的最小值为3，则p ，若线段AF的垂直平分线交抛物线C于P、Q两点，则四边形APFQ的面积为 （本题第一空2分，第二空3分）答案：2，16在梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2AB2BC2，将ABC沿对角线AC翻折到AMC，连结MD当三棱锥MACD的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为 答案：四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤1
16、7（本小题满分10分）在，成等比数列，且；，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，数列的前n项和为，若 （1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.（本小题满分12分）在四边形中，是上的点且满足与相似，.(1)求的长度；(2)求三角形面积的最大值.18. 解：（1）,在三角形中，即， 2分 所以，； 6分 (2)因为，所以， 7分 在三角形中，所以， 8分 所以，所以， 所以，所以三角形面积的最大值为. 12分19.（本小题12分）在四棱锥中，为平行四边形， 三角形是边长为的正三角形，
17、.（1）证明：；（2）若为中点，在线段上，且，求二面角的大小.解：(1)因为，所以，所以，又因为为平行四边形，所以,， 因为，所以，所以，因为,所以,所以, 因为，所以，所以，因为,所以,所以, 因为,所以. 6分 (2)由 (1)知，两两垂直，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在三角形中，,则, , ,所以，,设平面的一个法向量为，则，即，令，得，于是取 ， 又由 (1)知，底面为正方形，所以,因为，所以,因为,所以.所以平面的一个法向量， 设二面角的大小为，则，所以二面角的大小为. 12分 20.（本小题12分）已知（1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；（
18、2）若函数在上有1个零点.求实数的取值范围；20.解:（1）在上恒成立， 所以，令，则， 由，得，所以在单调递增，由，得，所以在单调递减，所以当时，取得最小值， 所以. 6分（2）（i）所以，当时，所以在单调递增，又因为，所以在上无零点. 7分当时，使得，所以在单调递减，在单调递增，又因为，所以若，即时，在上无零点， .8分 若，即时，在上有一个零点， 9分当时，在上单调递减，在上无零点， .10分 综上当时，在上有一个零点 12分21.（本小题满分12分） 已知椭圆：的离心率为，点在上（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵坐标不相等)，满足，且
19、直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.21.解：（1）由题意知可得，解得，则椭圆的方程为； 4分（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，设点， 联立，得，所以 ， ，因为，所以，因为在椭圆上，所以，化简得， 8分满足，又因为直线与直线倾斜角互补，所以，所以，所以，所以，所以， 10分因为，所以，代入得， 所以存在满足条件的三个点，此时直线的方程为或. 12分22.（本小题12分）已知函数.（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，证明.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，令，再利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；（2）由（1）可知当时，当时，转化为，进而转化为，构造新函数，利用导数即可求解.【详解】（1）由条件得，令，则.当时，在上，单调递增，即，在上为增函数，时满足条件.当时，令解得，在上，单调递减，当时，有，即，在上为减函数，不合题意.综上实数的取值范围为。6分（2）由（1）得，当，时，即，要证不等式，只需证明，只需证明，只需证，设，则，当时，恒成立，故上单调递增，又，恒成立原不等式成立。12分