1、3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示 .如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x，y，使pxayb共线向量定理:共面向量定理:.0对空间任意两个向量a,（b b），a/b的充要条件是存在实数，使a b1211212212如果e，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使a e e.（e、e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyoajiaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）2.
2、用基底表示已知向量.(难点)3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系 中写出向量的坐标.向量如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O.对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在OQ,k所确定的平面上，存在探究点1 实数z，使得OP=OQ+zk,而在i,j所空间向量确定的基本定理平面上，xyzkijQPO由平面向量基本定理可知，存在有序数对 x,y，使得OQ=xi+yj.从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一个向量p，存
3、在一个有序实数组 x,y,z,使得p=xi+yj+zk.xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.实个对间实数组间间a,b,cp,pabp|pabcc,.,Rx y zxyxzxyzy z如果三向量不共面，那么空任一向量存在有序使得空向量基本定理：空所有向量的集合a,b,ca,b,c间个基叫做空的一，都叫向量.基做底在空间中，如果用任意三个不共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,探k,能得到类似的究结论点吗？2 123121233设为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位，以e，e，e 的公共起点O为原点，分别以e，e，e 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直
4、角坐标系Oxyz.那么对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原e，e点O重，合，得到向量e正交基底pOP=p.由.123123空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底pxe ye ze e，e，ep=(x，y，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标 x,y 下的坐标,z，记作z).由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来.BANCOMQP.12OP=OM+MP=OA+MN23121=OA+(ON-OA)232111=OA+OB+OC33解6:.如图，M，N分别是四面体OABC的边
5、OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量 OA,OB,OC表示OP和OQ例1.BANCOMQP.OQ=OM+MQ11=OA+MN23111=OA+(ON-OA)23211111=OA+(OB+OC)=OA+OB+OC36366例 2如图，已知正方体 ABCDABCD，点E 是上底面 ABCD的中心，求用AB，AD，AA 为基底表示BD-，AE-.1211.22AEAAA EAAA BA DABADAAA 1.(2013曲阜高二检测)设 O-ABC 是四面 体，G1是ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 OG3GG1.若OGxOAyOB zOC，则(x，y，z)为()A(14，14
6、，14)B(34，34，34)C(13，13，13)D(23，23，23)2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组 a,b,x;x,y,z;b,c,z;x,y,a+b+c.其中可以作为空间的基底的向量组有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C 3.以下四个命题中正确的是()A空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量C若向量ab，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底D任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B 4已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OAa，OBb，OCc，用a，b，c表示向量MN为()111111A.a+b+c B.a-b+c 222222111111C-a+b+c D.-a+b-c222222C 5如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为 1，则1AC 的坐标为，1CD 的坐标为(1,1，1)(1,0,1)1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求.每一个成功者都有一个开始.勇于开始，才能找到成功的路.