1、第2章 2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程学习目标 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 4 2.3.1 双曲线的标准方程 预习导学 挑战自我，点点落实 知识链接 1.与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M到两定点F1、F2距离之差的绝对值为定值2a”中，“绝对值”三个字去掉.答：不能.否则所得轨迹仅是双曲线一支.5 2.3.1 双曲线的标准方程2.如何判断双曲线x2a2y2b21(a0，b
2、0)和y2a2x2b21(a0，b0)的焦点位置？答：x2系数是正的焦点在x轴上，否则焦点在y轴上.6 2.3.1 双曲线的标准方程预习导引 1.双曲线的定义 把平面内到两个定点F1，F2的距离的式等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做，叫做双曲线的焦距.差的绝对值双曲线的焦点两焦点间的距离7 2.3.1 双曲线的标准方程2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 F1(c,0)，F2(c,0)F1，F2 焦距 F1F22c，c2 x2a2y2b21y2a2x2b21(a0，b0)(a0，b0)(0,c)(0,c)a2b28 2.3.1 双曲线
3、的标准方程 课堂讲义 重点难点，个个击破 要点一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)经过点 P(3，154)，Q(163，5)；解 方法一 若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，点 P(3，154)和 Q(163，5)在双曲线上，9 2.3.1 双曲线的标准方程 9a2 22516b21，2569a225b21，解得a216，b29.(舍去)若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为y2a2x2b21(a0，b0)，将 P、Q 两点坐标代入可得 22516a2 9b21，25a22569b21，10 2.3.1 双曲线的标准方程解之得 a29
4、，b216，双曲线的标准方程为y29x2161.方法二 设双曲线方程为x2my2n1(mn0，b0).依题设有a2b26，25a2 4b21，解得a25，b21，所求双曲线的标准方程为x25y21.13 2.3.1 双曲线的标准方程方法二 焦点在 x 轴上，c 6，设所求双曲线方程为x2 y261(其中 06).双曲线经过点(5,2)，25 461，5 或 30(舍去).所求双曲线的标准方程是x25y21.14 2.3.1 双曲线的标准方程规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴
5、和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0，b0)，则32a2 9b21，25a2 8116b21，解得a216，b29，双曲线的方程为y216x291.16 2.3.1 双曲线的标准方程(2)求与双曲线x216y241 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲线方程.解 方法一 设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0).由题意易求得 c2 5.又双曲线过点(3 2，2)，3 22a2 4b21.又a2b2(2 5)2，a212，b28.17 2.3.1 双曲线的标准方程故所求双曲线方程为x212y281.方法二 设双曲线
6、方程为x216k y24k1(4k16)，将点(3 2，2)代入得 k4，所求双曲线方程为x212y281.18 2.3.1 双曲线的标准方程要点二 由方程判断曲线的形状例2 已知0180，当变化时，方程x2cos y2sin 1表示的曲线怎样变化？解(1)当0时，方程为x21，它表示两条平行直线x1.(2)当 090时，方程为 x21cos y21sin 1.19 2.3.1 双曲线的标准方程当 045时 0 1cos 1sin，它表示焦点在 y 轴上的椭圆.当 45时，它表示圆 x2y2 2.当 45 1sin a0，它表示焦点在 x 轴上的椭圆.(3)当90时，方程为y21.它表示两条平
7、行直线y1.20 2.3.1 双曲线的标准方程(4)当 90180时，方程为 y21sin x21cos 1，它表示焦点在 y 轴上的双曲线.(5)当180时，方程为x21，它不表示任何曲线.21 2.3.1 双曲线的标准方程规律方法 像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：定型：以x2和y2的系数的正负来确定；定量：以a、b的大小来确定.22 2.3.1 双曲线的标准方程跟 踪 演 练 2 方 程 ax2 by2 b(ab0)表 示 的 曲 线 是_.解析 原方程可化为x2bay21，ab0，ba0，知曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.焦点在y轴上的双曲线2
8、3 2.3.1 双曲线的标准方程要点三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在ABC中，已知AB，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.解 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，4 2则 A(2 2，0)，B(2 2，0).24 2.3.1 双曲线的标准方程由正弦定理，得 sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R(R 为ABC的外接圆半径).2sin Asin C2sin B，2ac2b，即 bac2，从而有 CACB12AB2 2 2).26 2.3.1 双曲线的标准方程规律方法
9、 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.27 2.3.1 双曲线的标准方程跟踪演练3 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有MF1R1，MF2R4，MF
10、2MF131，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是_.解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断.原方程可化为 y2k21 x21k1.k1，k210,1k0.已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.焦点在y轴上的双曲线31 2.3.1 双曲线的标准方程1 2 3 43.过点(1,1)且ba 2的双曲线的标准方程是_.解析 由于ba 2，b22a2.当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为x2a2 y22a21，代入(1,1)点，得 a212.32 2.3.1 双曲线的标准方程1 2 3 4此时双曲线方程为x212y21.同理求得焦点在 y 轴上时，双曲线方程为y2
11、12x21.答案 x212y21 或y212x2133 2.3.1 双曲线的标准方程1 2 3 44.平面内有两个定点F1(5,0)和F2(5,0)，动点P满足PF1PF26，则动点P的轨迹方程是_.解析 根据双曲线的定义可得.x29y2161(x3)34 2.3.1 双曲线的标准方程课堂小结1.双曲线定义中|PF1PF2|2a(2ab不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.