1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1.众数、中位数、平均数 2.标准差 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 众数、中位数、平均数Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 一 众数、中位数、平均数的概念中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛.)xxx(n1n2
2、1平均数:一组数据的算术平均数,即x=Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 练习:在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：成绩(单位:米)150160165170175180185190人数23234111分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 这组数据的平均数是答：17名运动
3、员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 频率组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：二、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2、在样本中，有50的个体小于或等于
4、中位数，也有50的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t.频率组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 说明:2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不
5、一致.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.n 个样本数据的平均数由公式:给出)xxx(n1n21X=下图显示了居民月均用水量的平均数:x=1.973频率组距0.10.20.30.40.5O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 三三种数字特征的优缺点1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.如上例中众数是2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的居民数比月均用水量为其它
6、数值的居民数多,但它并没有告诉我们多多少.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。如上例中假设有某一用户月均用水量为10t，那么它所占频率为0.01,几乎不影响中位数,但显然这一极端值是不能忽视的。Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3、由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质。也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信
7、息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 四众数、中位数、平均数的简单应用例 某工厂人员及工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资2200250220200100人数16510123合计22001500110020001006900（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？解：众数为200，中位数为220，平均数为300。因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数
8、不能客观真实地反映该工厂的工资水平。Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 标准差Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均有时也会使我们作出对总体的片面判断因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：乙：如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果看两人本次射击的平均成绩,由于77乙甲x，x两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什么差异吗?Copyrigh
9、t 2004-2009 版权所有 盗版必究(甲)45678910环数频率0.10.20.3频率(乙)456789 100.10.20.30.4环数直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩相对集中(如上图所示).因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如:在作统计图表时提到过的极差.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统
10、计策略.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：x。xxxxxin的距离是到表示这组数据的平均数假设样本数据是,.,21).,2,1(nixxiCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究：xxxx，n是平均距离的到样本数据于是”“,21.21nxxxxxxSn由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差.)()()(122221xxxxxxnsn一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示:考虑一个容量为2的样本:.2,2,121221xxaxxxx记其
11、样本的标准差为Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差乙甲ss由可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.09512乙甲，ss上面两组数据的离散程度与标准差之间的关系可用图直观地表示出来.45678910甲s乙s221xx 1x2xaCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例题1:画出下列四组样本数据的直方图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5
12、,5,6,6,6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8;解:四组样本数据的直方图是:频率o1 2 3 4 56 7 80.10.20.30.40.50.60.70.80.91.05xS=0.00(1)Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1 2 3 4 56 7 8频率o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.05xS=1.490.20.30.40.50.60.70.80.91.0(2)频率o1 2 3 4 56 7 85xS=0.82频率o1 2 3 4 5 6 7 80.10.20.30.40.50.60
13、.70.80.91.05xS=2.83Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是0.00,0.82,1.49,2.83.虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如:在关于居民月均用水量的例子中,平均数标准差s=0.868973.1x所以.237.02,105.1709.32,841.2sxsxsxsx外的只有4个。90.237,3.702sx2s,x区间这100个数据中，在据。几乎包含了所有样本数2sx2s,x也就是说，:2的工具测量样本数据分散程度方差来
14、代替标准作为方人们有时用标准差的平从数学的角度考虑s，.)()()(1222212xxxxxxnsnCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)甲25.46,25.32,25.45,25.39,25.36 25.34,25.42,25.45,25.38,25.4225.39,25.43,25.39,25.40,25.4425.40,25.42,25.35,25.41,25.39乙25.40,25.43,25.44,25.48,25.
15、4825.47,25.49,25.49,25.36,25.3425.33,25.43,25.43,25.32,25.4725.31,25.32,25.32,25.32,25.48 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体,由于零件的生产标准已经给出(内径25.40mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.00mm的差异在时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样
16、比较两人的生产质量只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样体数据,然后比较这两个样本的平均数,标准差,以此作为两个总体之间的估计值.解:用计算器计算可得:0.074s 0.038,s25,4008;x 25.4005,x乙甲乙甲Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于。，。，ss乙的高一些甲生产的零件的质量比于是可以作出判断比乙的
17、稳定程度高得多因此甲生产的零件内径乙甲 从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与我们抽取的内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本(为什么?).这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数,标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 小结：1.众数、中位数、平均数的概念 2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 3.三种数字特征的优缺点 4.什么是标准差?5.如何利用标准差刻画数据的离散程度?作业:P82练习1、2、3