1、5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念学 习 任 务核 心 素 养1借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(重点、难点)2掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点)3掌握三角函数诱导公式一并会应用(重点)1通过三角函数的概念，培养数学抽象素养2借助公式的运算，提升数学运算素养.江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然问题：把水车放在坐标系中，点P为水车上一点，它转动的角度为，水车的半径为r，点P的坐标如何表示？知识点1任意角的三角函数的定义条件如图，设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆
2、相交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作sin ，即ysin_余弦点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos ，即xcos_正切点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作tan ，即tan_(x0)三角函数正弦函数ysin x，xR余弦函数ycos x，xR正切函数ytan x，xk，kZ三角函数值的大小与点P在角终边上位置是否有关？提示三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)sin 表示sin与的乘积()(2)设角终边上的点P(x，y)，r|OP|0，
3、则sin ，且y越大，sin 的值越大()答案(1)(2)2.已知角的终边与单位圆的交点P，则sin _；cos _；tan _.答案2知识点2正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”3.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)已知是三角形的内角，则必有sin 0.()(2)若sin 0，则是第一或第二象限角()答案(1)(2)4.已知sin 0，cos 0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角B由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角是第二象限角知识点3诱导公式一5.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)
4、若720，则cos cos .()(2)若sin sin ，则.()答案(1)(2)6.sin(315)的值是()ABCD Csin(315)sin(36045)sin 45. 类型1三角函数的定义及应用【例1】(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角，的终边分别与单位圆交于点和，那么sin cos ()ABCD(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值结合三角函数的定义，思考sin ，cos ，tan 的值是否随点P在终边上的位置的改变而改变？如何利用这一特性解答(2)(1)B由三角函数的定义可知，sin ，cos ，所以sin cos ，故选
5、B.(2)解角的终边落在直线xy0上，在角的终边上任取一点P(t，t)(t0)则r2|t|.当t0时，r2t，sin ，cos ，tan .当t0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，所以2sin cos 1.若a0，则r5a，角在第四象限，sin ，cos ，所以2sin cos 1. 类型2三角函数值符号的运用【例2】(1)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)(对接教材P181例题)确定下列三角函数值的符号：sin 156；cos；cos(450)；tan；sin；tan 556.(1)C因为点P在第四象限，所以有由
6、此可判断角终边在第三象限(2)解156是第二象限角，sin 1560.为第三象限角，cos 0.450720270是终边落在y轴的非正半轴上的角，cos(450)0.2是第四象限角，tan0.2是第二象限角，sin0.556360196是第三象限角，tan 5560.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号2(1)已知角的终边过点(3a9，a2)且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_(2)判断
7、下列各式的符号：sin 145cos(210)；sin 3cos 4tan 5.(1)2a3因为cos 0，sin 0，所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为终边过(3a9，a2)，所以所以2a3.(2)解145是第二象限角，sin 1450，210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.3，4，52，sin 30，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50. 类型3诱导公式一的应用【例3】求值：(1)tan 405sin 450cos 750；(2)sincostancos.解(1)原式tan(36045)sin(360
8、90)cos(236030)tan 45sin 90cos 3011.(2)原式sincostan4cossincostancos1.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k的形式，其中0,2)，kZ.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角的某个三角函数值(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值3化简下列各式：(1)a2sin(1 350)b2tan 4052abcos(1 080)；(2)sincostan 4.解(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0a2b22a
9、b(ab)2.(2)sincostan 4sincostan 0sin0.1(多选)已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则下列表示正确的是()Asin Bcos Ctan Dtan 答案ABD2已知角的终边过点P(1，1)，则tan 的值为()A1B1CDB由三角函数定义知tan 1.3若cos 0，则在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限Ccos 0，在第三象限故选C.4sin _.sin sinsin .5比较大小(填“”或“”)：(1)sin 328_0；(2)cos _0；(3)tan _0.(1)328是第四象限角，sin 3280；(2)是第三象限角，cos 0；(3)是第二
10、象限角，tan 0.回顾本节知识，自我完成以下问题：1若角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin ，cos ，tan 分别等于多少？若角的终边上任意一点P(x，y)，则sin ，cos ，tan 又分别等于多少？提示sin y，cos x，tan (x0)；sin ，cos ，tan (x0)2如果改变终边上点P的位置，a，b，r均会改变，那么，这三个比值会改变吗？为什么？提示不会改变如图，sin ，sin ，其中r1，r2，又MOPNOQ，同理可知，因此，这三个比值不会改变3三角函数值的符号有何规律？提示“一全正、二正弦、三正切、四余弦”三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图(1)，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos ，sin )，其中cos OM，sin ON，即角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T)，如图(2)，则tan AT(或AT)我们把有向线段OM，ON和AT(或AT)分别叫做的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示图(1)图(2)