1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 平面向量的数量积及其应用 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量 a 和 b，如右图，作OA a，OBb，则AOB(0 180)叫作 a 与 b 的夹角.当 0
2、时，a 与 b_.当 180时，a 与 b_.当 90时，a 与 b_.共线同向共线反向互相垂直基础诊断考点突破课堂总结(2)向量的数量积定义：已知两个向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量_叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab_，由定义可知零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0.(3)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在a 的方向上的射影_的乘积，或 b 的长度|b|与 a在 b 方向上的射影_的乘积.|a|b|cos|a|b|cos|b|cos|a|cos 基础诊断考点突破课堂总结2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a(x1，y
3、1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|aa x21y21.(3)夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.(4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22.基础诊断考点突破课堂总结3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或
4、“”)精彩PPT展示(1)两个向量的夹角的范围是0，2.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角.()(5)abac(a0)，则 bc.()基础诊断考点突破课堂总结解析(1)两个向量夹角的范围是0，.(4)若ab0，a和b的夹角可能为0；若ab0，a和b的夹角可能为.(5)由abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量b和c不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点
5、突破课堂总结2.(2015全国卷)向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a等于()A.1B.0C.1D.2 解析 因为a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，得(2ab)a(1，0)(1，1)1，选C.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结3.(2017济南模拟)已知向量 a，b，其中|a|3，|b|2，且(ab)a，则向量 a 和 b 的夹角是_.解析 因为(ab)a，所以(ab)a|a|2|a|b|cosa，b32 3cosa，b0，解得 cosa，b 32，由于a，b0，.则向量 a，b 的夹角为6.答案 6基础诊断考点突破课堂总结4.(2016石家庄模
6、拟)已知平面向量 a，b 的夹角为23，|a|2，|b|1，则|ab|_.解析|ab|2|a|22ab|b|242|a|b|cos 23 14213，|ab|3.答案 3基础诊断考点突破课堂总结5.(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_.解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.答案 2 基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例 1】(1)(2015四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点 M，N 满足BM 3MC，DN 2NC，则AM NM等于(
7、)A.20 B.15 C.9 D.6(2)(2016天津卷)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AFBC的值为()A.58B.18C.14D.118基础诊断考点突破课堂总结解析(1)取AB，AD 为一组基底.BM 3MC，AM ABBM AB34BCAB34AD，NM CM CN 14AD 13AB，AM NM 14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB 29AD 2)148(1662942)9，选 C.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 如图所示，根据已知得，DF 34AC，所以AF
8、AD DF 12AB34AC，BCACAB，则AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB 234AC 234ACAB34AC 212AB 214ACAB34121411cos 6018.故选 B.基础诊断考点突破课堂总结法二 建立如图所示的平面直角坐标系.则 B12，0，C12，0，A0，32，所以BC(1，0).易知 DE12AC，FECACE60，则 EF14AC14，所以点 F 的坐标为18，38，则AF18，5 38，所以AFBC18，5 38(1，0)18.故选 B.答案(1)C(2)B 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用
9、向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)(2017江西八校联考)在 RtABC 中，A90，ABAC2，点 D 为 AC 的中点，点 E 满足BE13BC，则AEBD_.(2)已有正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE CB的值为_；DE DC 的最大值为_.解析(1)法一 因为AEABBEAB13BCAB13(ACAB)23AB13AC，BD BAAD AB12AC.因为
10、ABAC，所以ABAC0，基础诊断考点突破课堂总结所以AEBD 23AB13AC AB12AC 23|AB|216|AC|2232216222.法二 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，E43，23，所以AE43，23，BD(2，1)，所以AEBD 43，23(2，1)43(2)2312.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 如图，DE CB(DA AE)CBDA CBAECBDA 21，DE DC(DA AE)DCDA DC AEDCAEDC|AE|DC|DC|21.基础诊断考点突破课堂总结法二 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则
11、 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)，t0，1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DE CB(t，1)(0，1)1.因为DC(1，0)，所以DE DC(t，1)(1，0)t1，故DE DC 的最大值为 1.基础诊断考点突破课堂总结法三 由图知，无论 E 点在哪个位置，DE 在CB方向上的投影都是 CB1，DE CB|CB|11.当 E 运动到 B 点时，DE 在DC 方向上的投影最大即为 DC1，(DE DC)max|DC|11.答案(1)2(2)1 1 基础诊断考点突破课堂总结考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016全国卷)已知向量a(1
12、，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A.8B.6C.6D.8(2)若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_.解析(1)由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8，故选D.基础诊断考点突破课堂总结(2)2a3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2，1)0，解得 k3.又若(2a3b)c，则 2k312，即 k92.当 k92时，2a3b(12，6)6c，此时 2a3b 与 c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为，92 92，3.答案(1)D(2)，92
13、92，3基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos ab|a|b|(夹角公式)，abab0 等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)(2016全国卷)已知向量BA 12，32，BC 32，12，则ABC()A.30 B.45C.60 D.120(2)(2016全国卷)设向量 a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则
14、 m_.解析(1)|BA|1，|BC|1，cosABC BABC|BA|BC|32.由BA，BC0，180，得ABC30.(2)由|ab|2|a|2|b|2，得 ab，所以 m1120，得 m2.答案(1)A(2)2 基础诊断考点突破课堂总结考点三 平面向量的模及其应用【例 3】(1)(2017陕西统一检测)已知平面向量 a 与 b 的夹角等于3，若|a|2，|b|3，则|2a3b|()A.57B.61C.57 D.61(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的最大值是_.解析(1)由题意可得 ab|a|b
15、|cos33，所以|2a3b|（2a3b）24|a|29|b|212ab168136 61，故选 B.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 D(x，y)，由|CD|1，得(x3)2y21，向量OA OB OD(x1，y 3)，故|OA OB OD|（x1）2（y 3）2的最大值为圆(x3)2y21 上的动点到点(1，3)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21 的圆心(3，0)到点(1，3)的距离加上圆的半径，即（31）2（0 3）211 7.答案(1)B(2)1 7基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算
16、转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)(2017安阳调研)已知平面向量 a(2m1，3)，b(2，m)，且 a 与 b 反向，则|b|等于()A.10 27B.52或 2 2C.52D.2 2(2)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA
17、3PB|的最小值为_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)a 与 b 反向，a 与 b 共线，m(2m1)2302m2m60m2 或 m32.当 m2 时，a(3，3)，b(2，2)，a 与 b 反向，此时|b|2 2；当 m32时，a(4，3)，b2，32，a 与 b 同向，不合题意.故选 D.(2)以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx(0 xa)，基础诊断考点突破课堂总结D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5，3a4x)，|PA3PB|22
18、5(3a4x)225，当 x3a4 时取等号.|PA3PB|的最小值为 5.答案(1)D(2)5 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量.2.两个向量的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之也不成立.