1、江苏省南京市南师附中2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.本试卷共4页，包括单选题（第1题第8题）、多选题（第9题第12题）、填空题（第13题第题18题）、解答题（第19题第23题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据排列数公式可得出关于的二次
2、方程，进而可解得正整数的值.【详解】由排列数公式可得，即，解得故选：D.【点睛】本题考查排列数方程的求解，考查排列数公式的应用，考查计算能力，属于基础题.2.函数的导数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复合函数的求导公式可求得，进而可得出结果.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查复合函数求导，考查计算能力，属于基础题.3.若为虚数单位，复数满足，则虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的模长公式和复数的除法法则可求得复数，进而可得出复数的虚部.【详解】，因此，.因此，复数的虚部为.故选：D.【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查
3、了复数的运算、复数的模、复数的实部虚部，考查计算能力，属于基础题.4.已知等差数列，若、是函数的极值点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得，利用韦达定理和等差中项的性质可求得的值.【详解】，由韦达定理，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了等差中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题.5.已知复数满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，根据等式得出复数在复平面内对应的点的轨迹方程，然后利用的几何意义可求得的最大值.【详解】设，由题意得，圆心到原点的距离为2，.故选：C.【点睛】本题考查复数的模长
4、公式、圆的最值问题，属于基础题.6.若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由参变量分离法得出恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值，进而可求得实数的取值范围.【详解】由题意得恒成立，设，令，则，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，故. 因此，实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于中等题.7.某班联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】每
5、次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果.【详解】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有种方法，第二步插入第二个节目，此时有个空，故有种方法.因此不同的插法共有种.故选：B.【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.8.定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，再由函数的单调性可解此不等式，进而得解.【详解】令，故单调递减.，即，. 因此，的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查利用构造函数求解函数不等式，根据题意构造新函数并判断新函数的单调性，再依
6、据新函数单调性化简不等式即可，属于中等题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A. 的虚部为B. C. 的共轭复数为D. 是第三象限的点【答案】BC【解析】【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，所以，复数的虚部为，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】本题考查复数四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.10.有四名男生，三名女生排队
7、照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ）A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法C. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法【答案】CD【解析】【分析】利用捆绑法可计算出A、B选项中的排法种数，利用特殊位置法可计算出C选项中的排法种数，利用插空法可计算出D选项中的排法种数，综合可得出结果.【详解】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误；B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素
8、”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误；C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确；D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查排列组合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊位置法，考查计算能力，属于中等题.11.已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）A. 函数的极大值点有个B. 函数在上是减函数C. 若时，的最大值是，则的最大值为4D. 当时，函数有个零点【答案】ABD【解析
9、】【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有
10、性质.下列函数中具有性质的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据题意可知性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中函数的导函数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A、B选项的正误；利用导数相等，求解方程，可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】由题意可得，性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.对于A选项，则，导函数为增函数，不存在不同的两个使得导数值相等，所以A不符合；对于B选项，函数为偶函数，令，可得或，如下图所示：由图象可知，函数在和处的切线重合，所以B选项符合；对于
11、C选项，设两切点分别为和，则两切点处的导数值相等有：，解得：，令，则，两切点处的导数，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；对于D选项，设两切点得横坐标分别为和，则，所以，取，则，两切点处的导数值为，两切点连线的直线斜率为，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质，所以D选项符合.故选：BD.【点睛】本题考查函数的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分13.已知复数满足，则_【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案详
12、解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力14.已知函数，则的值为_.【答案】【解析】【分析】先求出，进而可求得的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，只需对函数进行求导，再代入值即可，属于基础题.15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有_种（请用数字作答）.【答案】【解析】【分析】分两种情况讨论：甲在最右边；乙在最右边.分别计算出两种情况下的排法种数，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】分两种情况讨论：甲在最
13、右边，则其他位置的安排没有限制，此时排法种数为；乙在最右边，甲在除了最左边和最右边以外的四个位置，再对剩下四个进行排列，此时，排法种数为.综上所述，不同的排法种数为.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合，解题的关键就是要对甲的位置分类讨论，考查计算能力，属于中等题.16.直线与直线和曲线分别相交于两点，则的最小值_【答案】2【解析】【分析】通过图像可以判断出，与的交点在与的交点的左边，求出两点的横坐标，然后做差，得到关于的函数，然后利用导数求出其最小值，【详解】如图，设直线与的交点为,直线与的交点为,则在的左侧，则，所以设，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，故的
14、最小值为【点睛】本题考查函数图像与解析式的结合，数形结合的数学思想，将线段长度表示为函数，利用导数求出函数的最值，综合性比较强，属于难题.17.已知函数，则它的极小值为_；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）利用导数可求得函数的极小值；（2）由题意可得出，分、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.【详解】（1）由，得，令，得，列表如下：极小值所以，函数的极小值为；（2），使得，即，.当时，函数单调递增，即；当时，函数单调递减，即；当时，不符合题意.综上：.故答案为：；.【点睛】本题考查利用导数求解
15、函数的极值，同时也考查了存在性问题与恒成立问题综合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.18.已知定义域为的奇函数满足，且当时，.若函数在上有个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】推导出函数的周期和对称轴方程，并作出函数在上的图象，数形结合可得出关于的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】由得：，所以，函数的周期为，由得，所以，函数关于直线对称，所以，函数在上单调递增，在上的图象如下：函数的零点，即与的图象的交点.当时，要有四个交点，则需满足，即，此时；当时，要有四个交点，则需满足，即，即；当时，即在上的零点，有个，分别是、，满足题意.综上：.故答案为：.【点睛】本题
16、利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.四、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.19.设复数，.（1）若是实数，求；（2）若是纯虚数，求的共轭复数.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由是实数求得a，再由复数代数形式的乘法运算求z1z2的值；（2）利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a，再由共轭复数的概念可得答案【详解】解：（1）是实数，.（2）是纯虚数，即，故的共轭复数为.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念和共轭复数的求法，属于
17、简单题20.已知函数.（1）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率为，求、的值；（2）若在区间上，函数不单调，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，进而可解得、的值；（2）根据题意可知，函数在区间上有极值点，设，分函数在区间只有一根，或两根，利用二次函数零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围.【详解】（1），解得；（2）由题意得在上有解，令.一根在上，或，该不等式组无解；两根在上， ，该不等式组无解.综上.【点睛】本题难度一般.第一问考查了导函数的几何意义，第二问直接考查了导函数的极值问题，间接考查了二次方程根的分布问题，属于中等题.21.为
18、提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设数学史、微积分先修课程、数学探究、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择数学史，求三人共有多少种不同的选课种数.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果；（2）考虑甲、乙两
19、位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分步乘法计数原理可求得结果；（3）分两种情况讨论：有两位同学选择数学史；三位同学都选择数学史.分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】（1）三位同学选择课程共有种情况；三位同学选择的课程互不相同共有种情况，所求概率为； （2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有种情况，丙有种不同的选择，所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有种情况；（3）分两种情况讨论：有两位同学选择数学史,共有种不同的情况；有三位同学选择数学史共有种情况.综上所述，总共有种不同的选课种数.【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分
20、步计数原理分类计数原理，排列组合的基本应用，属于中等题.22.如图，某景区内有两条道路、，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域.已知，.若绿化区域改造成本为万元，新建道路成本为万元.（1）设，写出该计划所需总费用的表达式，并写出的范围；设，写出该计划所需总费用的表达式，并写出的范围；（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点在何处时改造计划的总费用最小.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出、关于的表达式，根据题意可得出的表达式，并可求得的范围；设，利用余弦定理求出，根据题意可得出的表达式，并可求得的取值范围；（2）利用导数求得函数的最小值，及其对
21、应的的值，进而得解.【详解】（1）设，由正弦定理得， .当点与点重合的时候，所以；设，；（2），则 ，令，得，且，所以，得.当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.所以当，即时，改造计划的总费用最小.【点睛】本题考查导数在实际生活中的应用，要注意以边、角分别为变量求得函数解析式，并利用导数求出函数的最值，是常见题型，难度中等.23.设函数，.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若，试讨论的单调性；若有两个不同的零点，求的取值范围，并说明理由.【答案】（1）；（2）在单调递减；，理由见解析.【解析】【分析】（1）由得出，令，利用导数求出函数最大值，进而可得出实数的取值范围；（2）将代
22、入函数的解析式，利用导数可求得函数的单调区间；由参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1），则，令，则，令，得.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.，则，因此，实数的取值范围是；（2）当时，则，令，则，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.，恒成立，即恒成立，因此，函数在上单调递减；由，得，得，令，其中，则，令，当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.，当，当时，则；当时，则.所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减，则，且当时，所以，.【点睛】本题考查利用导数的综合应用，考查恒成立问题分析法和分参法，二次求导分析函数单调性，前两问正常难度，分析讨论，最后一问考查了隐零点，取点等函数分析法，难度较大，考验学生的分析能力，属于难题.
