1、 2015年高考数学(理科)模拟试卷四一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 复数等于 A. B. C. D.2. 已知集合，则 A. B. C. D.3. 已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则实数的值是 A. B. C. D.4. 已知、，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5. 已知、满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. D.6. 下列函数中，可以是奇函数的为 A.， B.， C.， D.，7. 已知异面直线、均与平面相交，下列命题： 存在直线，使得或；
2、 存在直线，使得且； 存在直线，使得与和所成的角相等， 其中不正确的命题个数是 A. B. C. D.8. 有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为 A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分.（一）必做题（第9题至13题为必做题，每道题都必须作答）9. 如果，那么 .10. 不等式恒成立，则的取值范围是 .11. 已知点、到直线：的距离相等，则的值为 .12. 某市有40%的家庭订阅了南方都市报，从该市中任取4个家
3、庭，则这4个家庭中恰好有4个家庭订阅了南方都市报的概率为 .13. 如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一点，从点可以观察到点、，并测量得到一些数据：，则、两点之间的距离为 .（）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14. （几何证明选讲选做题）如图，是圆外一点，、是圆的两条切线，切点分别为、，的中点为，过作圆的一条割线交圆于、两点，若，则 .15. （坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标中，曲线：与曲线：（）的一个交点在极轴上，则， .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答题须写出文字说明、证明过
4、程和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数（，）的最小正周期为. （）求； （）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间.17. （本小题满分12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改善，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：）资料如下： 2013年11月份AQI数据频率分布直方图 2014年11月份AQI数据 （1）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表并完成频率分布直方图；（）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期
5、空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI时，空气为优良），试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？18. （本小题满分14分） 如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，是棱上的动点，且（）.（）求证：为直角三角形； （）试确定的值，使得二面角的平面角的余弦值为.19. （本小题满分14分）数列的前项和为，已知，.（）求，的值； （）求数列的通项公式；（）设，数列前项和为，证明：，.20. （本小题满分14分）已知曲线： ，（）曲线为双曲线，求实数的取值范围；（）已知，和曲线：，若是曲线上任意一点，线段的垂直平分线为，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论.
6、21. （本小题满分14分）已知函数.（）若，证明：函数是上的减函数； （）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（）若，证明：（其中为自然对数的底数）.2015年高考数学(理科)模拟试卷四参考答案和评分标准一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CCBADABA二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 9 10 11 12(或) 13 14 15 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16.【解析】()依题意得,解得,所以,2分 所以.4分()因为,所以,列表如下:6分8分xyO1画出函数在区
7、间上的图像如图所示! 10分 由图象可知函数在上的单调递减区间为,.12分17.【解析】() 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分)() 支持,理由如下:年月的优良率为:, 8分年月的优良率为:, 9分因此 11分所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了多个百分点”.12分10012020400.0100.0050.0150.0200.02560801402014年11月份AQI数据频率分布直方图分组频数频率27125132014年11月份AQI数据频率分布表18.【解析】()取中点,连结,依题意可知,均为正三角形, 所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,PABCDMO
8、xyz 因为,所以,即,从而为直角三角形.5分 说明:利用平面证明正确,同样满分! ()由()可知,又平面平面,平面平面, 平面,所以平面.6分 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 , 7分由可得点的坐标为,9分所以,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,11分显然平面的一个法向量为,12分依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.14分PABCDMO由()可知平面,所以, 所以为二面角的平面角,即,8分 在中, 所以,10分 由正弦定理可得,即,解得,12分 又,所以, 所以,当时,二面角的余弦值为.14分19.【解析】()当时,解得； 1分 当时, 解得； 2分()方法一
9、：当时，整理得，即 5分所以数列是首项为,公差为的等差数列. 6分所以，即 7分代入中可得. 8分方法二：由()知:,猜想,4分下面用数学归纳法证明:当时，猜想成立； 5分假设,猜想也成立,即,则当时,有整理得，从而，于是即时猜想也成立.所以对于任意的正整数,均有. 8分 () 由()得, 9分当时，11分当时,成立； 12分当时,所以 综上所述,命题得证. 14分20.【解析】() 因为曲线为双曲线,所以,解得,所以实数的取值范围为.4分()结论:与曲线相切.5分证明:当时,曲线为,即,设,其中,6分线段的中点为,直线的斜率为,7分当时，直线与曲线相切成立. 当时，直线的方程为,即,9分因为,所以,所以,10分代入得,化简得,12分即,所以所以直线与曲线相切.14分说明:利用参数方程求解正确同等给分!21.【解析】()当时,函数的定义域是,1分对求导得,2分令,只需证:时,.又,3分故是上的减函数,所以5分所以,函数是上的减函数. 6分()由题意知,7分即,8分令,则,9分故是上的增函数,又,因此是的唯一零点,即方程有唯一实根,所以,10分利用两函数与图象求出(必须画出大致图象),同样给至10分.()因为,故原不等式等价于,11分由()知,当时,是上的减函数,12分故要证原不等式成立,只需证明:当时,令,则,是上的增函数,13分所以,即,故,即14分