1、3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 学习目标一、知识与技能熟练运用空间向量的加、减、数乘、数量积以及长度、夹角公式的坐标表示，会应用这些知识解决简单的立体几何问题.二、过程与方法通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，学会空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；培养数形结合的数学思想，提高运算能力。三、情感态度与价值观通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展空间想象能力，探究能力，进一步熟悉类比，由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高科学思维素养，激发求知欲望和学习兴趣。平面向量运算的坐标表示1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,),()aaR1
2、122a ba b2121(,)xx yy2212aa222121()()xxyy1 12222221212a ba baabb(3)_OAOBAB_|a_ABdAB_,cosbababa12121122(,),(,),(,),(,)aa abb bA x yB xy设则_ba_ba(1)_ba_a11221 22 1,()0ab abRa ba b即1 1220a ba b_0 baba/(2)a_)0(babb【知识链接】空间向量运算的坐标表示1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,),()aaR1 122a ba b2121(,)xx yy2212aa222121()()
3、xxyy1 12222221212a ba baabb(3)_OAOBAB_|a_ABdAB_,cosbababa123123111222(,),(,),(,),(,)aa a abb b bA x y zB xyz设则_ba_ba(1)_ba_a1122,()ab abR1 1220a ba b(2)_0 babaa/_)0(babb112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 1223 3a ba ba b)(,332211Rbababa0332211bababa),(121212zzyyxx232221aaa222212121()()(
4、)xxyyzz232221232221332211bbbaaabababa终点坐标减去起点坐标12121122(,),(,),(,),(,)aa abb bA x yB xy设则平面向量运算的坐标表示【学习探究】空间向量运算的坐标表示是通过类比得到的，它们是否成立？如何证明？平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示类比,i j k设为单位正交基底，123123,aa ia ja k bb ib jb k证明：)()(321321kbjbibkajaiaba)()()()()()()()()(332313322212312111kkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajiba
5、iiba1,0,i ij jk ki jj kk i 又332211babababa1231231231231 12233(,),(,),aaaaa ia ja kbb bbb ib jb ka ba ba ba b若则空间向量运算的坐标表示(3)_OAOBAB_|a123123111222(,),(,),(,),(,)aa a abb b bA x y zB xyz设则_ba_ba(1)_ba_a(2)112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 1223 3a ba ba b_ABd_,cosbababa_0 babaa/_)0(babb
6、)(,332211Rbababa0332211bababa),(121212zzyyxx232221aaa222212121()()()xxyyzz232221232221332211bbbaaabababa终点坐标减去起点坐标_【学习探究】例1.【课堂互学】_ba_a8_ba_ba413b5,32a1则），（），（）已知（(2)a213,(4,2,),_;/,_.bxabxabx 已知向量（，）若则 若则（-1，-2,1）（5，-4,9）（16，-24,40）-29 6310yzxO.,.2111111111111所成的角的余弦值与的一个四等分点，求分别是中，点如图，在正方体例DFBEDCB
7、AFEDCBAABCD F1E1C1B1A1D1DABC【课堂互学】yzxO13(1,1,0),1,1,4BE11(0,0,0),0,1.4，DF1311,1(1,1,0)0,1,44BE1110,1(0,0,0)0,1.44，DF,16151141)41(0011 DFBE111717|,|.44BEDF111111,cosDFBEDFBEDFBE17154174171615因此，与 所成的角的余弦值为1BE1DF1715解：不妨设正方体的棱长为1，分别 以 为单位正交基底建立空间直角坐标系，则DADC1DD，OxyzF1E1C1B1A1D1DABC131(1,1,0)1,10,1,44E
8、B1111150 0(1)1,4416E B DF 111111cos,E B DFE B DFE B DF15151617171744【课堂互学】.,.2111111111111所成的角的余弦值与的一个四等分点，求分别是中，点如图，在正方体例DFBEDCBAFEDCBAABCD.,.2111111111111所成的角的余弦值与的一个四等分点，求分别是中，点如图，在正方体例DFBEDCBAFEDCBAABCD F1E1C1B1A1D1DABC1.（）两直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角等或相互补（2）坐标法【课堂互学】我动脑，我聪明！我思考，我进步！利用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何
9、问题的一般步骤为：（1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（2）将空间图形中的元素关系（平行、垂直、夹角、距离等）转化为向量关系.（3）经过向量运算确定几何关系，进而解决几何问题.（建系求点）（向量坐标化）（向量运算、几何结论）11111.ABCDA B C DMABDBMC如图，在棱长为1 的正方体中，点是的中点，求与所成的角的余弦值yzxOMC1B1A 1D1DABC11(0,0,0),(1,1,1),(0,1,0),(1,0),2DBCM析：如图示建系，则11(1,1,1),(1,0),2DBMC 115cos,15DB MC 115.15DBMC故与所成的角的余弦值为跟踪练
10、习：，)1,0,1(1 DA),1,0,1(1A)0,0,0(D又),21,1,1(E)1,21,21(F)21,21,21(EF0)1,0,1()21,21,21(1DAEF,1DAEF 1DAEF 即xOyzC1D1B1A1CDABFE证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示空间直角坐标系则：【课堂互学】例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1、D1B1中点，求证：EFDA1 数形结合平面向量运算的坐标表示类比空间向量运算的坐标表示简单的立体几何问题（代数）（几何）【课堂小结】作业布置:课本 P98 习题 3.1 A 组：T5-T10(基础练习)T11(能力提升)x
11、OyzC1D1B1A1CDABFE拓展练习：X1113.GB CDAEFG在例 中，若 为的中点，求证：平面,311DAEFDAEF即可知析：由例,:11DAEGDAEG即同理可证.EEGEF又.1EFGDA平面G111111113.,.ABCDA B C DE FBB D BEFDA例 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点，求证：111MMM.B CDAEF例3中，在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由xOyzC1D1B1A1CDABFEMyzxO11111111111?ABCDA B C DFC DEBEDFE11如图，在棱长为1的正方体中，点是的一个
12、四等分点，问：在棱A B 上是否存在一点，使得若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由.F1E1C1B1A1D1DABC11111DF0EBEBEDF11解析：假设在棱A B 上存在一点，使得，则(1,1)(01),yy1设E(1,1,0)又B111(0,1,1),(0,1),4BEyDF又111(1)104BEDFy111301DF.yyEBE 11又在棱A B 上不存在点，使得有序实数组(,)x y z 一一对应 pxiy jzk,i j k 为基底 空间向量 p 本节课我们所研究的空间向量的坐标运算是在单位正交基底下的坐标的运算，根据空间向量基本定理，在一般基底下是否可以进行向量的坐标运算呢？