1、南京市2020-2021学年度第二学期期中六校联考高一数学试卷本卷：共150分 考试时间：120分钟一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1在中，若，则 （ ）A B C D2已知向量满足，且与的夹角为，则 （ ） A B C D3.若复数是纯虚数，则实数a的值为 （ ） A1B2 C1或2 D14.已知，且 ，则 （ ） A B C D 5.已知，是虚数单位若，则a的值为 （ ）A或B1 C1D 1或16. 已知，且为锐角，则（）ABCD（第7题）7如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东，且与相距海里的处有一货船，正以
2、海里/小时的速度，向南偏西匀速直线行驶，分钟后到达处，则此时该船与观测站的距离为（ ）海里 A B C D8古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则 （ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9已知复数(为虚数单位)，则（ ）A Bz对应的点在第一象限Cz的虚部为 Dz的共轭复数为 OA （第10题）10. 如图，的方格纸中有一个向量（以图中的格点O为起点，格点A为终点），则（ ）A分别以图中的格点为起点和
3、终点的向量中， 与是相反向量的共有11个 B满足的格点B共有3个C满足的格点B共有4个 D存在格点B，C，使得 11下列各式中，值为的是（ ）ABCD12. 在中，下列结论中，正确的是（ ） A若，则是等腰三角形B若，则C若，则为钝角三角形D若，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是三、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分. 13在中，若，则 ， （第一空分，第二空分）14求值： 15在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若，则 16欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉
4、为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为 四、解答题: 本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量，.（1）求证：与垂直； （2）若与是共线向量，求实数的值. 18（本小题满分12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，请在， 的面积为，这三个条件中任选一个，完成下列问题：（1）求角的大小（2）求的值。 （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19（本小题满分12分）如图，已知正三角形的边长为1，设（1）若是的中点，用分别表示向量，；（2）求； （3）求与的夹角.20（本小题满分12分）如
5、图，扇形钢板的半径为，圆心角为现要从中截取一块四边形钢板其中顶点在扇形的弧上，分别在半径，上，且，（1）设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围；（2）求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大（第20题）21（本小题满分12分）如图，在复平面中，平行四边形的顶点，（第21题） （1）求点对应的复数；（2）记点，对应的复数分别为， 若，求复数；若复数满足，求的最小值22（本小题满分12分）在中，角，所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角的大小；（2）若，求的面积南京市2020-2021学年度第二学期期中六校联考高一数学参考答案一、单项选择题:每小题5分，共40分 1B； 2D； 3
6、.A； 4. B； 5.D； 6. C； 7.C； 8A二、多项选择题:每题5分，漏选得2分，错选得0分，共20分9AB; 10. BCD; 11AC; 12. ABC；三、填空题: 每题5分，共20分. 注意13题第一空2分，第二空3分13 ; 141； 15; 163四、解答题: 本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分） 证明：（1）因为，所以， 2分从而， 4分且与均为非零向量，所以与垂直. 5分解：（2）因为，所以，又，且与是共线向量， 7分所以， 9分解得. 10分18（本小题满分12分）解：（1）选择条件因为，由余弦定理可得， 4分又因
7、为，所以. 6分（2）选择条件：因为，所以. 8分又因为，所以是等边三角形，所以，10分所以. 12分选择条件：由正弦定理，及得 8分. 12分选择条件：由得，8分所以.12分19（本小题满分12分）解：（1）， 1分 3分（2）由题意知，且，则 所以 6分（3） 与（2）解法相同，可得 8分设与的夹角为，则，10分因为，所以与的夹角为 (范围不写或写错扣1分).12分20（本小题满分12分）解：（1）因为，扇形钢板的圆心角为，所以， 因为扇形钢板的半径为，所以，所以， 2分， 所以， 4分所以四边形钢板的面积，其中的取值范围为 6分 （2） 8分， 10分因为，所以，所以当，即时，四边形钢板
8、的面积最大，最大值为12分 21（本小题满分12分）解:（1）在复平面中，由，得,因为四边形为平行四边形，所以，所以的坐标为,所以点对应的复数为 4分 （2）由已知及（1），得，由，得 8分设，则由，得，即，所以，所以，所以当时，即的最小值为 12分（或利用模的几何意义求解，但要说理）22（本小题满分12分）解：（1）法一：（化角）在中，由正弦定理，得， 因为，所以， 2分即所以 4分 因为，所以， 所以，或或即，或(舍) 或(舍) 6分 因为,所以 8分法二：（化边）因为, , , 所以 2分所以 ， 4分所以,即因为,所以 即 6分所以因为所以 8分（2）在中，因为， 所以结合余弦定理，得，即，解得或（舍去） 10分所以，即的面积为 12分