1、3.1.5空间向量运算的坐标表示 1空间向量的基本定理：2平面向量的坐标表示及运算律：(,)pxiy j i jx y(1)若分别是轴上同方向的两个单位向量(,)px y则 的坐标为1212(,),(,)aa abb b(2)若11221122(,),(,)abab aba bab ab 则 121 122(,)(),aaaRa ba ba b11221 12 2/,(),0abab abR aba ba b11222121(,),(,)(,)A x yB xyABxx yy(3)若则一复习回顾 若是 空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使pxaybzc,a b cp1空间直角坐
2、标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，这个基底叫单位正交基底,i j k用表示 (2)在空间选定一点和一个单位正交基底 ，以点为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴 ，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系 ,点 叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面，平面，平面；O,i j kO,i j kxyzOxyzO,i j kxOyyOzzOxxyzkjiO一复习回顾 2空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量,则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作在空间
3、直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标a,i j k123(,)a a a123aa ia ja k123(,)a a aaOxyz123(,)aa a aAOxyz(,)x y zOAxiy jzk(,)x y zOAOxyz(,)A x y z xzy123123(,),(,)aa a abb b b设则;ab;ab;a;a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 1223 3a ba ba b112233,()abab a
4、b abR1 1223 300a ba ba ba b一、向量的直角坐标运算新课 2222123|aa aaaa2222123|bb bbbb1.距离公式（1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角|ABABABAB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知 、，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式cos,|a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.两个向
5、量夹角公式 注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）当 时，。cos,1a b与 abcos,1 a b与 abcos,0a bab思考：当 及 时，夹角在什么范围内？1cos,0a b,10cos a b例1已知(2,3,5),(3,1,4),|,8,abab ab aa a b 求(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab 222|2(3)538a 88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)1 5(4)29a b 解:三、应用举例三、应用举例例2 已知 、，求：（1）线段 的中点坐标和长度
6、；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设 是 的中点，则(,)M x y zAB113()(3,3,1)1,0,52,3,222 OMOAOB点 的坐标是 .M32,32222,(13)(03)(5 1)29.A BdOABM（2）到 两点距离相等的点 的坐标 满足的条件。、AB(,)P x y z,x y z解：点 到 的距离相等，则(,)P x y z、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得 46870 xyz即到 两点距离相等的点的坐标 满足的条件是、AB(,)x y z46870 xyzF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱
7、长为1，如图建立空间直角坐标系 ，则 Oxyz13(1,1,0),1,1,4BE 11(0,0,0),0,1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1,44BE例3 如图,在正方体 中，求 与 所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D11B E 11114A BD F1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BEDF111111151516cos,.17|171744BE DFBEDFBEDF证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，分别以 DA、DC、1DD 为单位正交基底 建立空间直角坐标系Oxyz，例
8、 3 如图，正方体1111ABCDA B C D中，E，F分别是1BB，11D B中点，求证：1EFDA 则1(1,1,)2E，1 1(,1)2 2F 所以11 1(,)22 2EF ，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA 所以111 1(,)(1,0,1)022 2EF DA，因此1EFDA，即1EFDA 练习 1 已知ABCD,顶点(1,0,0),(0,1,0)AB,(0,0,2)C,则顶点 D 的坐标为_;RtABC中,90BAC,(2,1,1),(1,1,2)AB,(,0,1)C x,则_;x 已知(3,5,7)A,(2,4,3)B,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为_.(1,-1,2)2101四、课堂小结：1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。