1、第二章 数列 2.3 等差数列习题课 1.等差数列定义：an-an-1=d（d为常数）（n2）.3.等差数列的通项变形公式：an=am+（n-m）d.2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d.温故知新4.数列an为等差数列，则通项公式an=pn+q (p,q是常数),反之亦然.如果，成等差数列，那么 .26abAaAb由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，叫做 与等差中的项5.aAbAab N7 性质 在等差数列中,为公差，若且，那么*.:.,nmnpqadm n p qmnaaapaq8 推论 在等差数列中，与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即.12132
2、.:nnnaaaaaa 数列前n项.和129.:nnnSaaaa 性质：若数列前 项和为，.则，11(1)(10.2)nnnnnSnaSSnanS 或注意：两个公式都表明要求必须已知等差数列的.前 项和中的公式三个.111()(11.1:2,)2,nnnnnnSn aaan ndSSndaan12.性质:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列.1(1)2nn ndnSna结论：等差数列的前 项和的图象是相应抛物线上一群孤立的点，它的最值由抛物线的开口决定.联系:an=a1+(n-1)d的图象是相应直线上 一群孤立的点，它的最值又是怎样?由d的正负决定 例1.一般地，如果一个数列an的
3、前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？分析：因为当n1时，当n=1时，a1=S1=p+q+r，又因为当n=1时，a1=2p-p+q=p+q，所以当且仅当r=0时，a1满足an=2pn-p+q.an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q.问题探究2为常数(,).nSAnBn A B数列an为等差数列故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项a1=p+q，公差d=2p(p0).245,4,3,77.例2 已知等差数列的前 项和为，求使得最大的序号 的值nnn
4、SSn数项写数当时数关图条抛线点们数来2n1n2*1n等差列的前n和公式可以成ddS=n+a-n,所以S 可以看成函22ddy=x+a-x(xN)x=n的函值.22另一方面，容易知道S于n的象是一物上的一些.因此，我可以利用分析二次函求：n的值.题数为n22245由意知，等差列5,4,3,的公差-，777n5所以S=25+(n-1)(-)2775n-5n=145151 125=-(n-)+.142解56：n15于是，n取与最接近的整即7或8，2S 取最大值.当数时(1)当a10，d0，前n项和有最大值.可由an0，且an1 0，求得n的值；当a10，d0，前n项和有最小值.可由an0，且an1
5、0，求得n的值.解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法：(2)由取最值时n的值.,利用二次函数配方法求得21()22nddSnan方法技巧：归纳总结N*7,100.例3求集合且的元素个数，并求这些元素的和Mm mn nm数个个为项为项数114n1002由7n 100得n=14，77所以正整n共有14,即M中共有14元素，即：7，14，21，98是以a=7首，以a=98末的等差列.14(7+98)所以S=735.2解：例4.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S5=5,S10=20，求S15.解：因为S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,即
6、30=5+S15-20，S15=45.例5.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d.解：由题意知，S奇+S偶=354,S偶:S奇=32:27.列方程组解得：S奇=162，S偶=192，S偶-S奇=6d=30，所以d=5.1.在等差数列an中,已知S15=90,那么a8等于（）A.3 B.4 C.6 D.12 2.等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为 100，则它的前3m项的和为（）A.130 B.170 C.210 D.260 C 当堂检测3.设数列an是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项和，则（）A.S4S
7、5 B.S4=S5 C.S6S5 D.S6=S5 4.设an是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1 B.2 C.4 D.6 B B na5.设等差数列的前n项和为Sn，若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=（）A.3 B.4 C.5 D.6分析：利用an=Sn-Sn-1,求出am及am+1的值，从而确定等差数列an的公差，再利用前n项和公式求出m的值.解：选 C.由已知得，12mmmaSS,113mmmaSS，因为数列na为等差数列，所以11mmdaa，又因为1()02mmm aaS，所以1(2)0m a，因为0m，所以12a ，又1(1)2maamd，解得5m.1.等差数列的前n项和与二次函数的关系；3.等差数列基本量的计算；4.等差数列的性质.2.;nnSa利 用求课堂小结作 业 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。