1、第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 1mnpq1.(1)ab2a,A,bA;23.mnpqaaaam,n,p,qnnaadnd为常数;.若为等差数列，则若，则其中均为正整数。温故知新 宝石数量：1+2+3+4+98+99+100=？问题一 泰颐陵宝石图案 泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。情景导学问题就是“”?1004321对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。你知道应如何计算
2、吗？新知探究高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101，第3 项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：10010150502如何快速计算1+2+3+4+101？计算1+2+3+4+n？如何快速计算1+2+3+4+101？计算1+2+3+4+n？如何快速计算1+2+3+4+101？计算1+2+3+4+n？如何快速计算1+2+3+4+101？计算1+2+3+4+n？如何快速计算1+2+3+4+101？计算1+2+3+4+n？对n的奇偶性的讨论显得麻烦了，是否有更好的方法去求等差数列前n
3、项和？问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？探究新知借助几何图形之直观性：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？12321212019121(121)212s获得算法：如何快速计算1+2+3+4+101？计算1+2+3+4+n？1.公式推导 问题：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，na1ad123nnSaaaa公式推导nnnnaaaaaaS1232112321aaaaaaSnnnn倒序相加法=n(a1+an)个nnnnnaaaaaaS)()()(21112)(1nnaanS首项与末项的和与项数乘积的一半2)(1nnaanS思路二：1(
4、1)2nn nSnad于是有：n1aan 1 d由可得：11(1)2nn aandS1()2nnn aaS于是得到了两个公式：1(1)2nn nSnad 用等腰梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式 公式赏析1()2nnn aaSana1nann(n-1)dna1a1dnnnaSn2)1(1等腰梯形的面积=平行四边形面积+三角形面积 等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1公式1公式2比较两个公式的异同:公式赏析 例1.解:1(1)22nn nSnad公式利用a1=1()12nnn aaS公式a20=再根据在等差数列中,已知:,求及.na4d20n460ns1a20a学以
5、致用1.根据条件，求相应等差数列an的Sn:a1=5,an=95,n=10;a1=100,d=2,n=50;答案：500；2550；跟踪训练2,等差数列的前项和记为.已知,.(1)求通项;(2)令,求.nans3010 a5020 ana242nsnn例2.2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”的工程通知.某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加
6、 50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?例2.己知一个等差数列an前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?解：由题意知得11062aa；120202012202aaS所以120122aa；1060d-，得6d 14a 代入得：所以有21132nn nSa ndnn（）则310102110naaS例3.已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?nannnsn212 例4己知等差数列5,4 ,3 ,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.7
7、274解:由题意知,等差数列5,4 ,3 ,的公差为,所以sn=25+(n-1)()=(n-)2+75727475145752nn 1452155611252n补充例题.求集合 的 元素个数，并求这些元素的和。100,7|mNnnmmM且解：由 得 ,1007 n72147100 n7352)987(14nS答：略M正整数共有14个即 中共有14个元素 71 a9814 a即：7，14，21，98 是 为首项 的等差数列等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法课堂小结作 业 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
