1、北京市通州区2021届高三数学上学期期末摸底质量检测试题第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合，则A B C D 2抛物线的准线方程是A B C D3已知命题，则是A， B，C， D，4. 已知数列为等差数列，且，则数列的前项和是A B C D5从名教师和名学生中，选出人参加“我爱我的祖国”主题活动要求入选的人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A B C D 6已知，且，则下列不等式中一定成立的是A B C D7已知角的终边与单位圆交于点，则A B C D 8在中，且，则的最
2、小值是A B C D 9如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是（结果精确到） （参考数值：，） A B C D 10如图，等腰直角中，点为平面外一动点，满足，给出下列四个结论：存在点，使得平面平面；存在点，使得平面平面；设的面积为，则的取值范围是； 设二面角的大小为，则的取值范围是. 其中正确结论是A B C D 第二部分卷 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11复数（是虚数单位）的虚部是 12在的展开式中，的系数是 13在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是
3、14某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示月份，和是正整数，统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：该地区月平均最高气温最高的月份与最低的月份相差摄氏度； 月份该地区月平均最高气温为摄氏度，随后逐月递增直到月份达到最高；每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同 根据已知信息，得到的表达式是_. 15已知函数若存在，使得，则的取值范围是_. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16（本题13分）如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，分别是，的中
4、点，. （）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值. 17（本题13分）在锐角中，角，的对边分别为，设的面积为，已知，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求与的值. 条件：；条件：；条件：注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分18（本题14分）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用A款APP人人人人B款APP人人人人假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.（）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；（）从该企业男，女职工中各随机抽取人，记这
5、人中使用A款APP的人数为，求的分布列及数学期望； （）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占、女性占；B款APP的用户中男性占、女性占.试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.19（本题15分）已知函数. （）求曲线在点处的切线方程；（）设函数，当时，求零点的个数. 20（本题15分）已知椭圆的左、右顶点分别为点，且，椭圆离心率为. （）求椭圆的方程；（）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上. 21（本题15分）已知数列：，（）满足：
6、 ；（，）. 记.（）直接写出的所有可能值；（）证明：的充要条件是；（）若，求的所有可能值的和. 通州区2020-2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷参考答案及评分标准 2021年1月 一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案A B DC B CCA B B 二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 12. 13. 14. ，是正整数且， 15. 三解答题：本大题共6小题，共85分.16（本题13分） 解：（）证明：取的中点，连接，. 1分因为是的中点，所以，.因为是的中点，所以，.所以，. 所以四边形是平行四边形. 所以. 5
7、分因为平面，平面，所以平面. 6分（）因为底面为矩形，平面，所以，. 7分以点为坐标原点，分别以直线，为，轴建立空间直角坐标系. 8分 因为，所以，. 所以，. 设平面的法向量为，所以 即 令，则. 所以. 11分所以所以直线与平面所成角的正弦值. 13分17（本题13分）解（一）：选择条件：；条件：. 因为，所以，即. 所以. 4分因为是锐角三角形，所以. 7分由余弦定理可得. 所以. （负值舍去） 10分由正弦定理可得. 所以. 13分所以，. 解（二）：选择条件：；条件：因为， 所以. 4分由正弦定理可得. 所以. 8分由余弦定理可得. 所以. （负值舍去） 13分 所以，. 解（三）：
8、选择条件：；条件：因为， 所以. 3分因为，所以，即.所以. 7分由余弦定理可得. 所以. （负值舍去） 10分由正弦定理可得. 所以. 13分 所以，. 18（本题14分） （）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为；同理，女职工使用A款APP的概率约为. 3分（）的可能取值为，. 4分所以；. 7分所以的分布列为 9分的数学期望. 11分（）样本中，A款APP的男、女用户为（人），其中男用户占；女用户占.样本中，B款APP的男、女用户为（人），其中男用户占；女用户占.所以该企业职工使用B款APP的情况与官方发布的男、女用户情况更相符
9、. 14分19（本题15分）解：（）因为，所以. 所以，. 所以曲线在点处的切线方程是，即. 3分（）因为，所以. 所以. 4分当时，. 所以在上单调递减. 因为，所以有且仅有一个零点. 6分当时，令，得，令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 7分因为，所以在上有且仅有一个零点. 8分因为，且，所以，使得. 所以在上有且仅有一个零点.所以当时，有两个零点. 12分当时，. 令，得，令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，且. 所以有且仅有一个零点. 14分综上所述，当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 15分20（本题15分）解：（）因为，椭圆离心率为，
10、所以 解得，. 所以椭圆的方程是. 3分（）若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是. 所以点的坐标是，点的坐标是. 所以直线的方程是，直线的方程是. 所以直线，的交点的坐标是. 所以点在直线上. 5分若直线的斜率存在时，如图. 设斜率为. 所以直线的方程为. 联立方程组消去，整理得. 6分显然. 不妨设，所以，. 8分所以直线的方程是. 令，得. 直线的方程是. 令，得. 10分所以分子. . 15分所以点在直线上. 21（本题15分）解：（）的所有可能值是，. 3分（）充分性：若，即. 所以满足，且前项和最小的数列是，. 所以. 所以. 6分必要性：若，即. 假设，即. 所以，与已知矛盾. 所以. 8分综上所述，的充要条件是. （）由（）知，可得. 所以. 因为数列，（）中有，两种，有，两种，有，两种，有，两种，有一种，所以数列，（）有个，且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前项和是. 所以这个数列的前项和是.所以的所有可能值的和是. 15分