1、专题20 从算式到方程【专题说明】1正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【知识点总结】一、方程的有关概念1定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数2方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：.它（或它们）是方程中未知数的值；将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不
2、是3解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：首先是一个方程;其次是必须只含有一个未知数;未知数的指数是1;分母中不含有未知数 （2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a0，a,b是已知数) . （3）一元一次方程的最简形式是： axb（其中a0，a,b是已知数）.三、等式的性质1等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫
3、做等式.2等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； (2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x0中，两边加上得x，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零【精典例题】一、方程的概念1、下列各式哪些是方程？ 3x27； 4+812； 3x
4、6； 2m3n0； 3x22x10； x+23； ； 【答案与解析】解：虽是等式，但不含未知数；不是等式；表示不等关系，故、均不符合方程的概念、符合方程的定义，所以方程有：、【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个2、检验下列各数是不是方程的解 (1).x12 (2).【答案与解析】解：(1).把x12分别代入方程的左边和右边，左边，右边 左边右边， x12不是方程的解(2).把分别代入方程的左边和右边，左边，右边 左边右边， 是方程的解【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，
5、若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是3、下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ 3a+4；x+2y8；532；y10；3y2+y0；2a23a2；3a2a【答案与解析】解：等式有：；方程有：【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数4、下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( ) A2x13 (2，1) B (3，3) C. (x1)(x2)0 (1,2) D2(y2)15 (5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边右边的是方程的解，若左边右边的，则
6、不是方程的解【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解二、一元一次方程的相关概念1、已知方程；0.4x11；y24y3；t0；x+2y1其中是一元一次方程的个数是( ) A2 B3 C4 D5【答案】B.【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为不是整式方程（分母中含有未知数）未知数的次数为2，含有两个未知数所以、都不是一元一次方程【总结升华】和是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 不是整式，是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次
7、方程2、已知下列方程：；x0；x+y0；0.2x4；2x+132(x1)其中一元一次方程的个数是( ) A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】方程中未知数x的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程中的分母含有未知数x，所以它也不是；方程中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；经化简后为22，故它也不是一元一次方程；方程满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：只含有一个未知数；经过整理未知数的最高次数是1；含未知数的代数式必须是
8、整式（即整式方程）三、等式的性质1、用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的 (1)如果，那么_； (2)如果ax+byc，那么axc+_； (3)如果，那么_ 【答案与解析】解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11； (2).（by）； 根据等式的性质1，等式两边都加上by； (3).； 根据等式的性质2，等式两边都乘以 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形2、用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的 (1)若4
9、a8a5，则4a+_8a (2)若，则x_ (3)，则_ (4)ax+byc，则axc_【答案与解析】解： (1) 5 ； 根据等式性质1，等式两边同时加上5 (2) ； 根据等式性质2，等式两边同时除以6 (3) 2 ； 根据等式性质l，等式两边都加上(1+3y) (4) by； 根据等式性质l，等式两边都加上by【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形四、设未知数列方程1、根据问题设未知数并列出方程： 一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分若小明想考80分，他要做对多少道题？【答案与解析】解：设小明要做
10、对x道题，则有(25x)道做错或没做的题，依题意有：4x(25x)180 可以采用列表法探究其解 显然，当x21时，4x(25x)180 所以小明要做对21道题【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式五、等式或方程的应用1、观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式 (2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式【答案与解析】解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n个图形每条线上应该是n个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为41+1，第3个图形又增加4个点，表示为42+1，第n个图形共增加(n1)个4个点，表示为4(n1)+1;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为413，第2个图形增加4个点，表示为423，第3个图形又增加4个点，表示为433，第n个图形看作n个4个点少3个点，表示为4n3，所以有4(n1)+14n3 (1) 43+1443 44+1453 (2)4(n1)+14n3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系
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