1、第二讲二项式定理题组 二项式定理1.2017全国卷,4,5分理(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40 D.802.2016四川,2,5分理设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix43.2015新课标全国,10,5分理(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.604.2015湖北,3,5分理已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.295.2014浙江,5,5分理在
2、(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45 B.60 C.120D.2106.2017浙江,13,6分已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.7.2016全国卷,14,5分理(2x+x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)8.2016天津,10,5分理(x2-1x)8的展开式中x7的系数为.(用数字作答)9.2014新课标全国,13,5分理(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)10.2014山
3、东,14,5分理若(ax2+bx)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.11.2014安徽,13,5分理设a0,n是大于1的自然数,(1+xa)n的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图12-2-1所示,则a=.图12-2-1A组基础题1.2018广西贵港市联考,6在(x2-2x)6的展开式中,常数项为()A.-240B.-60C.60 D.2402.2018南宁市摸底联考,4(2x-1x)5的展开式中x3的系数为()A.80B.-80C.-40D.483.2018广东省海珠区一模,7(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y
4、3的系数为()A.-80B.-40C.40 D.804.2018长郡中学实验班选拔考试,8若二项式(x2+ax)7的展开式中的各项系数之和为-1,则含x2的项的系数为()A.560B.-560C.280D.-2805.2018益阳市、湘潭市高三调考,5若(1-3x)2 018=a0+a1x+a2 018x2 018,xR,则a13+a232+a2 01832 018的值为()A.22 018-1 B.82 018-1 C.22 018D.82 0186.2017合肥市三模,14(x-2)3(2x+1)2的展开式中x的奇次项的系数之和为.7.2017南昌市三模,13已知(x-1)(ax+1)6的
5、展开式中含x2项的系数为0,则正实数a=.B组提升题8.2018石家庄市重点高中高三摸底考试,10设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5,则a2+a4a1+a3的值为()A.-6160B.-122121C.-34 D.-901219.2018新余一中二模,6在二项式(x+3x)n的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为()A.6 B. 9 C. 12D. 1810.2017武汉市武昌区高三调考,7若(3x-3x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1 024,则该展开式中的常数项是()A.-270B.270C.-90D.9011.
6、2018衡水金卷,14已知(x-12x)n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p,q,则p+64q的最小值为.12.2017西安八校联考,13已知关于x的二项式(x+a3x)n的展开式中的二项式系数之和为32,常数项为80,则实数a的值为.13.2017天星第二次联考,15若x9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,则a1+a3+a5+a7+a9a7的值为.答案1.C当第一个括号内取x时,第二个括号内要取含x2y3的项,即C53(2x)2(-y)3;当第一个括号内取y时,第二个括号内要取含x3y2的项,即C52(2x)3(-y)2,所以x3y3的系数
7、为C5223-C5322=10(8-4)=40.2.A(x+i)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-rir(r=0,1,2,6),令r=2,得含x4的项为C62x4i2=-15x4,故选A.3.C易知Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr,令r=2,得T3=C52(x2+x)3y2,对于二项式(x2+x)3,Tt+1=C3t(x2)3-txt=C3tx6-t,令t=1,所以x5y2的系数为C52C31=30.故选C.4.D因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10,所以二项式(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为12210=29.故选
8、D.5.C由题意知f(3,0)=C63C40,f(2,1)=C62C41,f(1,2)=C61C42,f(0,3)=C60C43,因此f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120,故选C.6.164由题意知a4为含x的项的系数,根据二项式定理得a4=C3212C2222+C3313C212=16,a5是常数项,所以a5=C3313C2222=4.7.10(2x+x)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r(2x)5-r(x)r=25-rC5rx5-r2,令5-r2=3得r=4,故x3的系数为2C54=10.8.-56二项展开式的通项为Tr+1=C8r(x2)8-r(-1x)r=
9、(-1)rC8rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,故x7的系数为-C83=-56.9.12二项展开式的通项公式为Tr+1=C10rx10-rar,当10-r=7时,r=3,T4=C103a3x7,故C103a3=15,解得a=12.10.2二项展开式的通项为Tr+1=C6r(ax2)6-r(bx)r=C6ra6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3,故C63a3b3=20,所以ab=1,a2+b22ab=2,当且仅当a=b=1或a=b=-1时,等号成立.11.3由题图可知a0=1,a1=3,a2=4,由题意可得a1=Cn11a=3,a2=Cn21a2=4,即na=3,n(n-
10、1)a2=8,解得n=9,a=3.A 组基础题1.D(x2-2x)6的展开式中,通项公式为Tr+1=C6r(x2)6-r(-2x)r=(-2)rC6rx12-3r,令12-3r=0,得r=4,故常数项为T5=(-2)4C64=240,故选D.2.B(2x-1x)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r=(-1)r25-rC5rx5-2r,令5-2r=3,得r=1.于是展开式中x3项的系数为(-1)25-1C51=-80,故选B.3.D(2x-y)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(2x)6-r(-y)r,当r=2时,T3=240x4y2,当r=3时,T4=-160x
11、3y3,故x4y3的系数为240-160=80,故选D.4.A取x=1,得二项式(x2+ax)7的展开式中的各项系数之和为(1+a)7,即(1+a)7=-1, 解得a=-2.二项式(x2-2x)7的展开式的通项为Tr+1=C7r(x2)7-r(-2x)r=C7r(-2)rx14-3r.令14-3r=2,得r=4.因此,二项式(x2-2x)7的展开式中含x2项的系数为C74(-2)4=560,故选A.5.B由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a13+a232+a2 01832 018=(1-9)2 018=82 018,所以a13+a232+a2 01832 018=82 018-a
12、0=82 018-1,故选B.6.9依题意得,(x-2)3(2x+1)2=(x3-6x2+12x-8)(4x2+4x+1)=4x5-20x4+25x3+10x2-20x-8,所以展开式中x的奇次项的系数之和为4+25-20=9.7.25(ax+1)6的展开式中x2的系数为C64a2,x的系数为C65a,因为(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0,所以-C64a2+C65a=0,解得a=0或a=25.因为a为正实数,所以a=25.B组提升题8.C由二项式定理,得a1=-C5124=-80,a2=C5223=80,a3=-C5322=-40,a4=C542=10,所以a2+a4a1+
13、a3=-34,故选C.9.B在二项式(x+3x)n的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n,即A=4n,二项展开式中的二项式系数之和为2n,即B=2n.A+B=72,4n+2n=72,解得n=3,(x+3x)n=(x+3x)3的展开式的通项为Tr+1=C3r(x)3-r(3x)r=3rC3rx3-3r2,令3-3r2=0,得r=1,故展开式中的常数项为T2=3C31=9,故选B.10.C(3x-3x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和等于(3x+3x)n的展开式中所有项的系数之和.令x=1,得4n=1 024,n=5.(3x-3x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(3x)5-r(-3x)r
14、=C5r35-r(-1)rxr-52+r3,令r-52+r3=0,解得r=3,展开式中的常数项为T4=C5332(-1)3=-90,故选C.11.16显然p=2n.令x=1,得q=12n.所以p+64q=2n+642n22n642n=16,当且仅当2n=642n,即n=3时,取等号,此时p+64q的最小值为16.12.2依题意得2n=32,n=5,二项式(x+a3x)n=(x+a3x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5-r(a3x)r=C5rarx15-5r6.令15-5r6=0,得r=3.由C53a3=10a3=80,解得a=2.13.649令x=2,得29=a0+a1+a2+a8+a9,令x=0,得0=a0-a1+a2-+a8-a9,所以a1+a3+a5+a7+a9=a0+a2+a4+a6+a8=28,又x9=1+(x-1)9,T8=C97(x-1)7,所以a7=C97=36,故a1+a3+a5+a7+a9a7=25636=649.