1、2020年赤峰市高三期末考试试卷文科数学注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由题得=0，1,2，
2、所以AB=0,1,2.故选B.2.设复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A. B. 的虚部是C. 在复平面内所对应的点为D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【详解】复数满足，则，故选项A错误；的虚部是1，故选项B错误；在复平面内所对应的点为，故选项C正确；，故选项D错误；故选：C.【点睛】本题考查复数的相关概念、几何性质、乘除运算，属于基础题.3.设函数，则下列结论正确的是（ ）A. 的最小正周期为B. 的图像关于直线对称C. 一个零点为D. 在，上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用公式将函数化简，根据正弦函数图象和性质逐一判
3、断即可.【详解】函数，最小正周期为,故A不正确；,所以的图像不关于直线对称，故B不正确；，所以的一个零点为，故C正确；当时，而在单调递增，所以D不正确.故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的图象和相关性质，考查计算求解与数形结合能力，属于基础题.4.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，排除C，只有A可满足故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数
4、值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项5.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89
5、 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号（ ）A. 478B. 324C. 535D. 522【答案】A【解析】【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可【详解】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，478合适，则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，478，则第6个编号为478，故选：A.【点睛】本题考查简单随机抽样，随机数表法抽样的具体操作步骤，属于基础题.6.对
6、于直线和平面，能得出的一组条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案.【详解】A选项中，根据，得到或，所以A错误；B选项中，不一定得到，所以B错误；C选项中，因为，所以.又，从而得到，所以C正确；D选项中，根据，所以，而，所以得到，所以D错误.故选：C.【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.7.已知为圆周率，e为自然对数的底数，则A. B. 3C. D. 3【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出【详解】对于A：函数y
7、=xe是（0，+）上的增函数，A错；对于B：3e23e23e3e3，而函数y=xe3是（0，+）上的减函数，B错；对于C：，而函数y=logex是（0，+）上的增函数，C错，对于D：，D正确；故答案为：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.已知三点，则的外接圆的圆心到原点的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论【详解】因为ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=2上，可设圆心P(2,p)，由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P(2,)，
8、所以圆心到原点的距离|OP|=，故选：B.【点睛】本题考查三角形外接圆性质，已知坐标求圆心坐标可设未知数，建立方程解出未知数即可，考查计算能力，属于简单题.9.已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 4D. 2【答案】D【解析】【分析】双曲线与双曲线有公共的渐近线，设双曲线C的方程，其中0，又因为点在双曲线上，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程，然后求解焦距即可【详解】双曲线与双曲线有公共的渐近线，设双曲线C的方程，其中0，点在双曲线上，解之得，因此双曲线方程为,故离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解
9、出a，b，c即可求得离心率，属于中等题.10.在中，为的中点，则等于（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意，可求面积，根据面积公式可得，再利用余弦定理可求.【详解】在中，为的中点，,又，可得，由余弦定理可得：.故选：A.【点睛】本题考查解三角形问题，根据题目的边角关系代入正弦或者余弦定理即可，考查计算能力，属于基础题.11.已知向量，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量三角不等式，可得，从而得取值范围【详解】根据向量三角不等式，故选：D.【点睛】本题考查向量的性质与向量三角不等式，属于基础题.12.如图，棱长为1的正方
10、体中，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）异面直线与所成的角为三棱锥的体积为定值的最小值为2A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据异面直线所成的角的定义即可判断；由线面垂直的性质即可判断；先求得M到平面DCC1D1的距离再利用锥体体积公式求解；将问题转化为平面图形中线段AD1的长度，利用余弦定理解三角形解得即可判断.【详解】BC，异面直线与所成的角即为BC与所成的角，可得夹角为，故正确；连接，平面A1BCD1，平面A1BCD1，故正确；平面DCC1D1，线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,又DCC1的面积为定值,因此三棱锥MDCC1的体积为定值,故正确；将面A
11、A1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值，在D1A1A中,D1A1A=135,利用余弦定理解三角形得，故不正确.因此只有正确.故选：A.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及空间位置关系及数量关系，综合性强，考查空间推理能力，属于中等题.二、填空题13.如图所示，在边长为2的正方形中随机撒1500粒豆子，有300粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】根据几何概型的概率意义，即可得到结论【详解】正方形的面积S=4，设阴影部分的面积为，随机撒1500粒豆子，有300粒落到阴影部分，几何概型的概率公式进行估计得，即，故答案为：.【
12、点睛】本题考查几何概型的应用，求几何概型关键是找出几何度量之间的关系，常见几何度量有：长度、面积、体积等，属于基础题.14.孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米_斛【答案】【解析】,圆柱形容器体积为 ,所以此容器能装斛米 15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿
13、拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球的诞生日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为_个，该足球表面的棱为_条【答案】 (1). 12 (2). 90【解析】【分析】由题目分析，可设这个足球有正五边形皮子x块，则根据题意可得等量关系式：正六边形的块数3=正五边形的块数5，由此可以解出正五边形个数，根据两条边组成一条棱，
14、因此可求棱的条数【详解】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.所以设这个足球有x块正五边形，一共有5x条边，其中白皮三条边和黑皮相连，又足球表面中的正六边形的面为20个，根据题意可得方程：，解得，该足球表面中的正五边形的面为12个；因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱，所以每条棱由两条边组成，该足球表面的棱为：条.故答案为：12；90.【点睛】本题考查列方程解含有未知数的应用题，考查想象能力与转化能力，属于中等题.16.已知函数的图像上存在两点关于轴对称，则实数的取值范围是_【答案
15、】【解析】【分析】设对称两点坐标为，代入则有，两边各构造函数，将此方程有解，转化为令，两函数有交点，求导，利用数形结合即可解答.【详解】由已知函数的图像上存在两点关于轴对称，设对称两点坐标为，则有，此方程有解，即，令，即需满足时与有交点，则恒成立,处单调递增，只需即可，即，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的综合应用，根据条件求参数的取值范围，一般根据条件运用转化思想，转化为方程有解或者函数图像有交点问题，再利用数形结合求交点即可，属于较难题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17
16、.如图，在四棱锥中，平面，是平行四边形，、交于点，是上一点（1）求证：；（2）已知，若为的中点，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）要证，根据条件只需先证明平面，又平面，得证；（2）由（1）知平面，所以转化为求解即可【详解】（1）平面，平面，又为菱形，又，平面，平面，（2）由（1）知平面，所以【点睛】本题考查线线垂直的证明、棱锥体积的计算，需熟悉垂直判定定理及棱锥体积公式，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于简单题.18.已知数列满足，（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的前项和【答案】（1）见解析，（2
17、）【解析】【分析】（1）由已知构造等比数列，可得，化简即为的通项.（2）由已知得，代入，可得，所以数列的前项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.【详解】（1）由，得，即，又，是以为首项，公比为的等比数列，（2）由已知得，所以数列的前项和为：【点睛】本题主要考查等差数列的定义、等差、等比数列的求和公式以及已知数列的递推公式求通项，属于综合题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的
18、递推数列求通项往往用构造法，利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.属于中等题.19.2017年3月18日，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如下表组别女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”请列出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2
19、）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率附表及公式：，【答案】（1）见解析，在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的（2）【解析】【分析】（1）根据题目所给的数据可求22列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）利用列举法求得所有情况，根据古典概型可计算.【详解】（1）列联表如下：非“环保关注者”“环保关注者”合计女104555男153045合计257
20、5100将列联表中的数据代入公式计算，得的观测值，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的（2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人，男“环保达人”2人设女“环保达人”3人分别为，；男“环保达人”2人为，从中抽取两人的所有情况为：，共l0种情况既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有，共6种情况故所求概率为【点睛】本题考查独立性检验，相互独立事件的概率计算，考查计算能力，属于简单题.20.已知函数（1）求函数的极值；（2）若，证明：【答案】（1） ，无极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）对函数的求导，得，令导函数得0，可求极值点及极
21、值；（2）由知，则1为极小值点，则， ，代入求出的最小值即可.【详解】（1）函数的定义域为，由，得，由得在上为增函数，由得在上为减函数，所以，无极大值（2）由知，则1为极小值点，由（1）知，则，令，则，的图象在图象的上方，可得，在为减函数，在为增函数，即【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用、利用导数证明不等式，通常需要对函数求导，研究其单调性和极值等，属于常考题型；利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，求解函数最值.属于中等题.21.已知为椭圆上的动点，轴于，为的中点，设点的轨迹
22、为（1）求曲线的方程；（2）若点，直线与曲线交于，两点，与椭圆交于，两点，问是否存在与无关实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在请说明理由（，分别表示直线，的斜率）【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设，由题意得，又在椭圆上，代入得椭圆S方程即可得到曲线的方程（2）根据题意，要使成立，只要成立即可，将及 表示出来，利用点在椭圆上，化简可得，可得.【详解】（1）设，由题意得，又在椭圆上，代入得，故曲线的方程为（2）要使成立，只要成立即可，设，又已知点，得，在椭圆上，在椭圆上，故存在与无关的实数，使得成立【点睛】本题考查轨迹方程问题、直线与圆锥曲线综合问题，求轨迹方程，一般是问谁设谁
23、的坐标然后根据题目等式直接求解即可，解决直线与椭圆的存在性综合问题时，一般设存在，代入等量关系求解，如果能出现定值则存在，考查综合分析及计算能力，属于难题（二）选考题22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在直线为轴建立直角坐标系，曲线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点，为直线上任意一点，点在射线上运动，且（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求点轨迹围成的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与平面直角坐标之间的关系即可求解.（2）由（1）知，则可求直线的极坐标方程为，在极坐标系中，设，则，点在直线上，代入与Q点关系即可得到Q的轨迹方程，化简并转化为直角坐标方
24、程可得轨迹为圆，求圆面积即可.【详解】（1），由得，曲线的直角坐标方程（2）由（1）知，则直线的直角坐标方程为，极坐标方程为在极坐标系中，设，则点在直线上，即，即点轨迹的直角坐标方程为，即，点的轨迹为半径为的圆，圆的面积为【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，求轨迹方程问题，考察转化与化归思想，属于中等题.23.设函数，存在实数，使得成立（1）求不等式的解集；（2）若，且满足，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据题意解出，再把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由条件和（1）求出，再把不等式的左边利用极值定理解出极小值，不等式得证.【详解】（1）由已知得，又，等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为（2）由（1）知，即，所以当且仅当时等号成立，即，时等号成立【点睛】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法：(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和求解.(2)分类讨论:利用“零点分段法”求解.(3)构造函数:利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.本题属于中等题.
