1、课时作业42空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1给出下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的个数是(C)A0 B1 C2 D3解析：对于，未强调三点不共线，故错误；正确；对于，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故正确；对于，未强调三点不共线，则这两个平面也可能相交，故错误故选C.2在正方形ABCDA1B1C1D1中，棱所在的直线与直线BA1是异面直线的条数是(C)A4 B5C6 D7解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BA1平面ABB1A1，则
2、有AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1，共6条直线与BA1是异面直线，故选C.3已知a，b，c是两两不同的三条直线，则下面四个命题中，为真命题的是(C)A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c可能相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c可能相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c可能相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知选项C中的命题为真故选C.4已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和
3、c的位置关系是(D)A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：因为直线a与平面，的位置关系不确定，则直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.5如图所示，在四面体ABCD中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定(A)A在直线DB上B在直线AB上C在直线CB上D以上都不对解析：设直线EF与GH的交点为M.EF平面ABD，GH平面CBD，M平面ABD，且M平面CBD.又平面ABD平面CBDBD，MBD，EF与GH的交点在直线DB上6在正四棱锥PABCD中，PA2，直线PA与平面ABCD所成的角为60，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为(C)A90 B6
4、0 C45 D30解析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，则O是AC，BD的中点，又E是PC的中点，OEAP，OEB为异面直线PA与BE所成的角(或补角)四棱锥PABCD是正四棱锥，PO平面ABCD，则PAO为直线PA与平面ABCD所成的角，即PAO60.又PA2，OAOB1，OE1，在RtOBE中，OEB45，即异面直线PA与BE所成的角为45，故选C.7(多选题)已知平面，两两垂直，直线a，b，c满足a，b，c，则直线a，b，c的位置关系可能是(BCD)A两两平行 B两两垂直C两两相交 D两两异面解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD、平面A1ADD1、平面
5、A1ABB1两两垂直，则AB，AD，A1A两两相交且两两垂直，故B，C正确；CD，A1D1，BB1彼此异面，故D正确如图所示，设m，n，l，在平面内任取一点O(Ol，On)，过O作OBl，OCn，垂足分别为B，C.因为，l，OB，OBl，所以OB.因为m，所以OBm，同理OCm.因为OBOCO，所以m，同理n，l.若a，b，c两两平行，因为a，b，m，所以abm.又因为m，c，所以mc，所以ac，与ac矛盾所以a，b，c两两平行不成立，故A错误故选BCD.8到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(C)A1 B4 C7 D8解析：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥当平面一侧有一点，另一侧
6、有三点时，如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个所以满足条件的平面共有7个，故选C.二、填空题9三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是0或1.解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行且不共面，没有交点10如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为6
7、0.解析：取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，则B1EBD，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角设AB1，则A1A，在RtAB1E中，AB1，B1E，则AB1E60，即异面直线AB1与BD所成的角为60.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是.解析：由题意，在正方体中，连接DA1，DB，则CB1DA1，所以A1DP为异面直线DP与CB1所成的角，点P与B重合时，A1DP最大，且最大为，当点P与A1无限接近时，A1DP趋近于零，故异面直线DP与CB1所成角的取值范围是.12(多填题)在四面体ABCD中，BDAD，CDAD
8、，BDBC，BDAD1，BC2，则四面体ABCD的体积为，异面直线AB与CD所成角的余弦值为.解析：因为ADBD，ADCD，所以AD平面BCD，所以四面体ABCD的体积VADSBCDADBDBC112.解法1：如图，在平面BCD内，过点D作BC的平行线与过点B作的CD的平行线相交于E，连接AE，则四边形BCDE为平行四边形，所以DEBC2，且ABE为异面直线AB与CD所成的角由AD平面BCD，且AB，则ADDE，所以AE.因为BDBC，所以DC，则BECD，于是在ABE中，由余弦定理，得cosABE.解法2：以D为坐标原点，在平面BCD内过D与BD垂直的直线为x轴，以DB，DA所在的直线分别为
9、y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(2,1,0)，D(0,0,0)，所以(0,1，1)，(2,1,0)，则cos，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.三、解答题13如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GHAD且GHAD，又BCAD且BCAD，故GH綊BC.所以四边形BCFG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面
10、理由如下：由BEAF且BEAF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面14.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异
11、面直线BC与AD所成角的余弦值为.15(多选题)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，有下列判断，其中正确的是(ABD)A平面PB1D平面ACD1BA1P平面ACD1C异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是D三棱锥D1APC的体积不变解析：在正方体中，B1D平面ACD1，B1D平面PB1D，所以平面PB1D平面ACD1，所以A正确；连接A1B，A1C1，如图，容易证明平面A1BC1平面ACD1，又A1P平面A1BC1，所以A1P平面ACD1，所以B正确；因为BC1AD1，所以异面直线A1P与AD1所成的角就是直线A1P与BC1所成的角，在A1BC1中，易知所求角的范围是，所以C错误；VD1APCVCAD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且AD1P的面积不变，所以三棱锥D1APC的体积不变，所以D正确16如图，在侧棱长为3的正三棱锥ABCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，则动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度为.解析：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是EFGH，如图所示，则BEBH2.在直角三角形BAH中，cosHBA，HBA，HBG，2，同理.在直角三角形HAE中，HAE，AHAE，.在等边三角形BCD中，CBD，2.则所求曲线的长度为.