1、江苏省南京市第二十九中2020届高三数学下学期3月期初考试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上）1.复数的共轭复数为_.【答案】【解析】【分析】化简得到，再计算共轭复数得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2.已知，则_.【答案】【解析】【分析】计算得到，再计算并集得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了并集的计算，意在考查学生的计算能力.3. 给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其
2、中64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为_【答案】【解析】落在区间64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于4.已知函数（，），则“”是“函数在上不单调”的_条件.（填“充分不必要、必要不充分、充分必要、非充分非必要”之一）【答案】充分不必要【解析】【分析】，故函数在不单调，充分性，函数在上不单调，则只需满足包含最值点，故不必要，得到答案.【详解】函数，故函数在不单调，充分性；函数在上不单调，则只需满足包含最值点，故不必要.故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.5.根据如图所示伪代码，可知输出的结果为_.【答案】
3、10【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的值【详解】解：模拟程序的运行过程，得：，满足条件，执行循环，满足条件，执行循环，满足条件，执行循环，此时不满足条件，退出循环，输出故答案为：10【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题6.三张卡片上分别写有A、A、B，将三张卡片随机排成一排，恰好排成BAA的概率是_.【答案】【解析】【分析】根据题意得到，计算得到答案.【详解】根据题意知：.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数t等于_.【答案】【解析】分析】计算抛物线的焦点为，得
4、到，解得答案.【详解】抛物线，即的焦点为.故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点问题，意在考查学生对于双曲线和抛物线的理解.8.设，函数，则取得最大值时对应的_.【答案】【解析】【分析】化简得到，故，故当时函数有最大值，得到答案.【详解】，则，故，故当，即时函数有最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换，根据三角函数的最值求变量，意在考查学生的综合应用能力.9.设为等差数列的前n项和，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】化简得到，计算得到答案.【详解】，即，.当时，有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的前项和，意在考查学生的综合应用能力.10.已知
5、函数则满足不等式的x的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】讨论，四种情况，分别解不等式得到答案.【详解】当时，即时，需满足，解得，故；当时，即时，需满足，无解；当时，即时，需满足，解得，故；当时，即时，无解.综上所述：故答案为：.【点睛】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.11.若函数的定义域和值域均为,则的范围是_.【答案】【解析】试题分析：函数的定义域和值域均为，则与的图象必有两个不同的交点，这两个交点的坐标就分别为.设，则.设极小值点为，则.由题意得（接下来仔细看如何用条件，如何变形）.因为，所以.又因为，所以.所以，.考点：1、指数函数；2、指数与对数运
6、算；3、不等式.12.设a，bR，若x0时恒有0x4x3+ax+b（x21）2，则ab等于_【答案】1【解析】验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0a+b0，所以a+b=0，当x=0时，可得0b1，结合a+b=0可得1a0令f（x）=x4x3+ax+b，即f（1）=a+b=0又f（x）=4x33x2+a，f（x）=12x26x，令f（x）0，可得x，则f（x）=4x33x2+a在0，上减，在，+）上增又1a0，所以f（0）=a0，f（1）=1+a0又x0时恒有0x4x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4x3+ax+b的极小值点，也是最小值点故有f（1）=1+a=
7、0，由此得a=1，b=1故ab=1故答案为113.已知，则正常数p的值为_.【答案】【解析】【分析】设，根据题意得到，故，解得答案.【详解】设，.故，故，.，且，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力，取，是解题的关键.14.设点A，B是圆上的两点，点，如果，则线段AB长度的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设直线方程为：，根据得到，设矩形顶点，故，计算得到，得到答案.【详解】设直线方程为：，则，故，故，. .即.如图所示：设以为邻边的矩形顶点，故根据中点和中点为得到.故.故在圆心为，半径为的圆上.故，当在圆与轴的左右交点时取等号.故答案为：.【点睛】本题
8、考查了圆的轨迹方程，长度范围，确定在圆心为，半径为的圆上是解题的关键.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，正三棱柱的所有棱长都是2，四边形ABCD是菱形，.（1）求证：面面；（2）求四棱锥与的公共部分体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明，得到平面，得到证明.（2）如图所示，连接，易知，故平面，四棱锥与的公共部分为四棱锥，计算得到体积.【详解】（1）正三棱柱，故平面，平面，故.四边形ABCD是菱形，故，故平面.平面，故面面.（2）如图所示：连接，易知，故平面.根据图像知：四棱锥与的公共
9、部分为四棱锥.，故.【点睛】本题考查了面面垂直，体积的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16.如图，在平行四边形ABCD中，垂足为.（1）若，求AP的长；（2）设，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简得到，得到答案.（2），根据三点共线，故，得到，解得答案.【详解】（1），故.（2），三点共线，故.，故，.展开化简得到：，解得，故.【点睛】本题考查了向量的数量积求长度，平面向量共线定理，向量垂直，意在考查学生的综合应用能力.17.如图，椭圆E：的左、右焦点分别为，R是椭圆E上任意一点，的取值范围是，动直线l：与椭圆相交于A，B两点.（1）求椭圆E的标准方程：（2）
10、若，B关于y轴的对称点是，证明：；（3）若，B关于y轴的对称点是，试探究：是否成立？说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案不唯一，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到，解得，得到答案.（2）设，则，联立方程得到，计算得到证明.（3）计算得到，得到答案.【详解】（1）的取值范围是，故，解得，.故椭圆方程为：.（2）设，则.，故，故.，故，即.当斜率不存在时，易知成立.综上所述：.（3），.故当时，当时，不成立.【点睛】本题考查了椭圆方程，证明向量平行，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：其中
11、，点为轴上关于原点对称的两点，曲线段是桥的主体，为桥顶，且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为，曲线段均为开口向上的抛物线段，且分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（）的切线的斜率相等.（1）求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；（2）车辆从经倒爬坡，定义车辆上桥过程中某点所需要的爬坡能力为：（该点与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点处的切线的斜率），其中的单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车:游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力.它们的爬坡能力分别为米,米,米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?【答案】“游客踏乘”的
12、车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.【解析】试题分析：（1）据题意，抛物线段与轴相切，且为抛物线顶点，设，则抛物线段在图纸上对应函数的解析式可设为，因为点为衔接点,则解得所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为（2）设是曲线段上任意一点,分别求P在两段上时，函数的最大值若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力，利用二次函数求其最值（米），若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力 ，令，换元法求其最大阻值，（米），所以可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米,又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥
13、试题解析：据题意，抛物线段与轴相切，且为抛物线的顶点，设，则抛物线段在图纸上对应函数的解析式可设为，其导函数为由曲线段在图纸上的图像对应函数的解析式为,又,且,所以曲线在点处的切线斜率为,因为点为衔接点,则解得所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为设是曲线段上任意一点,若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力令 所以函数 在区间上为增函数,在区间上是减函数,所以（米） 若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力 令则记当时,而当时,所以当时,有最小值从而取最大值此时（米）所以由,可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米,又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”
14、的车辆可以顺利通过该桥19.已知函数，.（1）若函数在其定义域内为单调减函数，求a的取值范围；（2）若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且，证明：对任意的正整数n，当时，成立.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据得到，求导得到，即恒成立，利用均值不等式得到答案.（2）根据切线斜率为0得到，化简得到，设，确定函数单调递增，得到，得到证明.【详解】（1），故，函数定义为.，恒成立.即在恒成立，故恒成立，故.（2），故.，即证，故证.设，故，函数单调递增，故，且当时，故恒成立.【点睛】.本题考查了根据函数单调性求参数，根据切线斜率求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的综合
15、应用能力和计算能力.20.已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d0）在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q（1）求证：|q|1；（2）若a1，n1，求d的值；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，且s，t都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用a，c，n表示）【答案】（1）见解析；（2）（3）当n4k2（kN*）时，积为；当n4k（kN*）时，积为【解析】【分析】（1）先由条件求出知，又有ca+2d代入即可得|qn+2|1，就可证明结论；（2）先求出b1+d，c1+2d，然后对插入的数分所在
16、位置所存在的两种情况分别求出d的值即可；（3）先由条件求得|q|s+1|q|t+1st然后再对q所存在的可为正数，也可为负数两种情况分别求出插入的n个数的乘积即可【详解】（1）由题意知，ca+2d，又a0，d0，可得，即|qn+2|1，故|q|n+21，又n+2是正数，故|q|1 （2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b1+d，c1+2d，若插入的这一个数位于a，b之间，则1+dq2，1+2dq3，消去q可得（1+2d）2（1+d）3，即d3d2d0，其正根为 若插入的这一个数位于b，c之间，则1+dq，1+2dq3，消去q可得1+2d（1+d）3，即d3+3d2+d0，此方程无
17、正根故所求公差 （3）由题意得，又a0，d0，故，可得，又，故qs+1qt+10，即|q|s+1|q|t+1又|q|1，故有s+1t+1，即st设n+3个数所构成的等比数列为an，则，由akan+4ka1an+3ac（k2，3，4，n+2），可得（a2a3an+2）2（a2an+2）（a3an+1）（an+1a3）（an+2a2）（ac）n+1，又，由s，t都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，若q为正数，则a2a3an+2，插入n个数的乘积为；若q为负数，a2，a3，an+2中共有个负数，故a2a3，所插入的数的乘积为所以当n4k2（kN*）时，所插入n个数的积为；当n4k（kN*）时，所插
18、入n个数的积为【点睛】本题综合考查等差数列与等比数列的通项公式以及分类讨论思想在解题中的应用考查了等比数列的性质的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于难题数学11（附加题）（考试时间：30分钟试卷满分：40分）21.已知矩阵若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值5的一个特征向量为求矩阵A.【答案】【解析】【分析】根据矩阵A属于特征值1的一个特征向量为得到，属于特征值5的一个特征向量为，故，解得答案.【详解】矩阵A属于特征值1的一个特征向量为，故；属于特征值5的一个特征向量为，故，解得，故.【点睛】本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.22. 在极坐
19、标系(,)(02)中,求曲线=2sin与cos=1的交点Q的极坐标.【答案】(,)【解析】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线=2sin可化为:x2+(y-1)2=1,曲线cos=1可化为x=1,由可得交点坐标为(1,1),所以交点Q的极坐标是(,).23.在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO. （1）若=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.【答案】（1）（2）2【解析】分析：以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点的坐标，（1）求出异面直线 与1的方向向量用数量积公式两线夹角的
20、余弦值（或补角的余弦值）（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数的值即可详解： (1)以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. （2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m0，m0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 8分由D1EEO，则E，=.10分又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .12分因为平面CDE平面CD1F，所以mn0，得 点睛：
21、本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度24.设正整数m，n满足，为集各的n元子集，且；（1）若，满足；（i）求证：；（ii）求满足条件集合的个数；（2）若中至多有一个元素，求证：.【答案】（1）（i）证明见解析；（1）（ii）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）（i）设中的个元素满足，则得到，得到证明.（1）（ii）从个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的个元素排成一排，形成空，共有种放法，得到答案.（2）根据题意知，没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为，的二元集合个数为，故，得到证明.【详解】（1）（i）设中的个元素满足，满足，故，故.（1）（ii）从个元素中选不相邻的个元素，即等价于将剩余的个元素排成一排，形成空，共有种放法，故共有个集合.（2）根据题意知，没有相同的二元集合，中所有的二元集合个数为，的二元集合个数为，故，即.【点睛】本题考查了集合的证明问题，集合的个数问题，意在考查学生的综合应用能力.