1、微专题3函数性质的综合问题函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用. 类型1函数性质的判断【例1】(1)对于函数f(x)的性质，下列描述：函数f(x)在定义域内是减函数；函数f(x)是非奇非偶函数；函数f(x)的图象关于点(1,1)对称其中正确的有几项()A0B1C2D3(2)设f(x)是定义在R上的增函数，F(x)f(x)f(x)，那么F(x)必为()A增函数且是奇函数B增函数且是偶函数C减函数且是奇函数D减函数且是
2、偶函数(1)C(2)A(1)f(x)1的定义域x|x1，在(，1)，(1，)单调递减，但是在定义域内不是递减，故错误；由于f(x)的定义域关于原点不对称，即f(x)为非奇非偶函数，正确；根据函数图象的平移可知，f(x)1的图象可由y的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位，故函数的图象的对称中心(1,1)，正确故选C.(2)F(x)f(x)f(x)F(x)，F(x)为定义在R上的奇函数，设x2x1，则F(x2)F(x1)f(x2)f(x2)f(x1)f(x1)，x2x1，x2f(x1)，f(x1)f(x2)，F(x2)F(x1)f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)0，F(x)为定义在R上的
3、增函数综上所述，F(x)必为增函数且为奇函数故选A. 类型2函数的奇偶性、单调性与最值【例2】设函数f(x)在区间2,2上的最大值为M，最小值为N，则(MN1)2 021的值为_1f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，可知函数g(x)为奇函数，g(x)在区间2,2上的最大值与最小值的和为0，故MN2，(MN1)2 021(21)2 0211 . 类型3函数的奇偶性、单调性与比较大小【例3】(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，设ab0，则下列不等式中成立为()Af(b)f(a)g(a)g(b)Cf(a)f(b)g(b)g(a)
4、AC函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，由ab0，得f(a)f(b)0，f(a)g(a)，f(b)g(b)；对于A，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0上f(a)g(a)，所以A正确；对于B，f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)2f(b)0，这与f(b)0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(a)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)2f(a)f(b)0，这与f(a)f(b
5、)矛盾，所以D错误故选AC. 类型4函数的奇偶性、单调性与解不等式【例4】(1)设定义在R上的奇函数f(x)满足，对任意x1，x2(0，)，且x1x2都有0.若ab，试比较f(a)与f(b)的大小关系；若f(1m)f(32m)0，求实数m的取值范围(1)C由题意可得，函数的图象关于原点对称，对任意x1，x2(0，)，且x1x2，都有b，所以ab0，由题意得0，所以f(a)f(b)0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(b)f(b)，所以f(a)f(b)0，即f(a)f(b)由知f(x)为R上的增函数，因为f(1m)f(32m)0，所以f(1m)f(32m)，即f(1m)f(2m3)，所以1
6、m2m3，所以m4.所以实数m的取值范围为(，4 类型5抽象函数的性质应用【例5】设函数yf(x)是定义在(0，)上的函数，并且满足下面三个条件：对任意正数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)；当x1时，f(x)0；f(3)1.(1)求f(1)，f 的值；(2)证明f(x)在(0，)上是减函数；(3)如果不等式f(x)f(2x)2成立，求x的取值范围解(1)因为对任意正数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，令xy1，得f(1)f(1)f(1)，f(1)0，令xy3，则f(9)f(3)f(3)2，令x，y9，则有f(1)f f(9)0，f f(9)2.(2)证明：令x11，f
7、0，f(x2)f f(x1)f f(x1)，所以f(x)在(0，)上是减函数(3)由已知不等式f(x)f(2x)2化为f(2xx2)f ，又f(x)在(0，)上是减函数，解得1x1.不等式解集为. 类型6根据函数的奇偶性、单调性求参数【例6】已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3