1、 类型1求函数的定义域求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集【例1】(1)求函数y的定义域；(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域解(1)解不等式组得故函数的定义域是x|1x5且x3(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a2x)，所以yx(a2x)x2ax，定义域为.1函数f(x)(3x1)0的定义域是()ABCDD由得x0时，f(x)1，则f(x)的解析式为_(2)已知f ，则f(x)的解析式为_(1)f(x)(2)f(x)x2x1，x(，1)(1，)(
2、1)设x0，f(x)1.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即f(x)1，f(x)1.f(x)是奇函数，f(0)0，f(x)(2)令t1，则t1.把x代入f ，得f(t)(t1)21(t1)t2t1.所以所求函数的解析式为f(x)x2x1，x(，1)(1，)2(1)已知f(x)3f(x)2x1，则f(x)_.(2)二次函数f(x)ax2bxc(a，bR，a0)满足条件：当xR时，f(x)的图象关于直线x1对称；f(1)1；f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式(1)x因为f(x)3f(x)2x1，以x代替x得f(x)3f(x)2x1，两式联立得f(x)x.(2)解因为f(x)的对称
3、轴为x1，所以1即b2a，又f(1)1，即abc1，由条件知：a0，且0，即b24ac，由上可求得a，b，c，所以f(x)x2x. 类型3函数的性质及应用函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响【例3】已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，若a，b1,1，ab0时，有0成立(1)判断f(x)在1,1上的单调性，并证明；(2)解不等式f(x2)f(2x)；(3)若f(x)m22am1对所有的a1,1恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)是1,1上的增函数证明：任取
4、x1，x21,1，且x10，0，x1x20，f(x1)f(x2)0.f(x)是1,1上的增函数(2)由(1)可得f(x)在1,1上递增，可得不等式f(x2)f(2x)等价于解得0x，即所求不等式的解集为.(3)要使f(x)m22am1对所有的x1,1，a1,1恒成立，只需f(x)maxm22am1对所有的x1,1，a1,1恒成立，又f(x)maxf(1)1，1m22am1对任意的a1,1恒成立，即m22am0对任意的a1,1恒成立令g(a)2mam2，只需解得m2或m2或m0，故实数m的取值范围是(，202，)3已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)
5、在区间2，1上的最值解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，.比较得nn，n0.又f(2)，解得m2.实数m和n的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x).任取x1，x22，1，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).2x1x21，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在2，1上单调递增f(x)maxf(1)，f(x)minf(2). 类型4函数图象的画法及应用利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象【例4】已知函数f(x)|x22x3|.(1)画出函数图
6、象并写出函数的单调区间；(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根解(1)当x22x30时，得1x3，函数f(x)x22x3(x1)24，当x22x30时，得x3，函数f(x)x22x3(x1)24，即f(x)的图象如图所示，单调递增区间为1,1和3，)，单调递减区间为(，1)和(1,3)(2)由题意可知，函数yf(x)与ym的图象有四个不同的交点，则0m4.故集合Mm|0m44在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线yf(x)，另一种是平均价格曲线yg(x)，如f(2)3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)3表示2小时内的平均价格为3元下
7、面给出了四个图象，实线表示yf(x)，虚线表示yg(x)，其中可能正确的是() C根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确 类型5函数的应用本章主要学习了分段函数的建模问题，分段函数主要是每一段的变化规律不全相同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段要“不重不漏”【例5】在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的
8、利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价每件14元；该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L，则由题设得LQ(P14)1003 6002 000，由销售图易得：Q代入式得L(1)当14P20时，L最大值450元，这时P19.5元，当20P26时，L最大值417元，此时P20元故当P19.5元，月利润余额最大为450元(2)设
9、可在n年内脱贫，依题意有12n45050 00058 0000.解得n20.即最早可望在20年后脱贫5通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式f(x)(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解(1)当0x10时，f
10、(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9，由f(x)的图象(图略)可知，当0x10时递增，f(x)最大值f(10)59；当10x16时，f(x)59；当16x30时，f(x)为减函数，f(x)最大值59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟(2)f(5)0.1(513)259.953.5，f(20)320107470时，令f(x1)0，得0x12，1x3；当x0时，令f(x1)0，得2x10，1x1，又x0，1x0；当x0时，显然符合题意综上，原不等式的解集为1,01,3，选D.法二：当x3时，f(31)0，符合题意，排除B；当x4时，f(41)f(3)95，求道路密度x的取值范围；(2)若道路密度x80，测得交通流量v50，求车辆密度q的最大值解(1)v，v越大，x越小，vf(x)是单调递减函数，k0，当40x80时，v最大为85，于是只需令10013595，解得x，又0x40，故道路密度x的取值范围为.(2)把x80，v50代入vf(x)k(x40)85中，得50k4085，解得k.qvx当0x40时，v100135100，qvx4 000. 综上所述，车辆密度q的最大值为.