1、第2章 2.5 圆锥曲线的统一定义学习目标 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 4 2.5 圆锥曲线的统一定义 预习导学 挑战自我，点点落实 知识链接 1.椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答：1e.2.动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答：当Fl时，动点M轨迹是圆锥曲线.当Fl时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线.5 2.5 圆锥曲线的统
2、一定义预习导引 1.圆锥曲线的统一定义 平面内到和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于的点的轨迹.时，它表示椭圆；时，它表示双曲线；时，它表示抛物线.一个定点F常数e0e1e16 2.5 圆锥曲线的统一定义2.对于椭圆x2a2y2b21(ab0)和双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，与 F(c,0)对应的准线方程是 l：，与 F(c，0)对应的准线方程是 l：；如果焦点在 y 轴上，则两条准线方程为.xa2cxa2cya2c7 2.5 圆锥曲线的统一定义 课堂讲义 重点难点，个个击破 要点一 统一定义的简单应用例 1 椭圆x225y291 上有一点 P，它到左准线的距离等于2.5，
3、那么，P 到右焦点的距离为_.解析 如图所示，PF1PF22a10，eca45，而PF12.5e45，PF12，PF210PF11028.88 2.5 圆锥曲线的统一定义规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用.一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行.9 2.5 圆锥曲线的统一定义跟踪演练 1 已知椭圆 x24b2y2b21 上一点 P 到右焦点 F2的距离为 b(b1)，求 P 到左准线的距离.解 方法一 由 x24b2y2b21，
4、得 a2b，c 3b，e 32.由椭圆第一定义，PF1PF22a4b，得PF14bPF24bb3b.由椭圆第二定义，PF1d1 e，d1 为 P 到左准线的距离，10 2.5 圆锥曲线的统一定义d1PF1e 2 3b，即 P 到左准线的距离为 2 3b.方法二 PF2d2 e，d2 为 P 到右准线的距离.eca 32，d2PF2e 2 33 b.又椭圆的两准线的距离为 2a2c 8 33 b，P 到左准线的距离为8 33 b2 33 b2 3b.11 2.5 圆锥曲线的统一定义要点二 应用统一定义转化求最值例 2 已知椭圆x28y261 内有一点 P(1，1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求
5、一点 M，使 MP2MF 之值为最小.解 设d为M到右准线的距离.eca12，MFd 12，MF12d，即 d2MF(如图).12 2.5 圆锥曲线的统一定义故MP2MFMPMM.显然，当P、M、M三点共线时，所求的值为最小，从而求得点 M 的坐标为(23 15，1).13 2.5 圆锥曲线的统一定义规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决.14 2.5 圆锥曲线的统一定义跟踪演练 2 已知双曲线x29y2161 的右焦点为 F，点 A(9,2)，试在双曲线上求一点 M，使 MA35MF 的值最小，并求这个最小值.
6、解 过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知 MNMFe(如图).15 2.5 圆锥曲线的统一定义又 a3，b4，c5，e53，MN35MF，MA35MFMAMN，显然当M、N、A三点共线时MAMNAN为最小，即 MA35MF 取得最小值，此时 AN9a2c 995365，MA35MF 的最小值为365，此时点 M(3 52，2).16 2.5 圆锥曲线的统一定义要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例 3 已知 A、B 是椭圆x2a2 y2925a21 上的点，F2 是右焦点，且 AF2BF285a，AB 的中点 N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程.17 2.5 圆锥曲线的统一
7、定义解 设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1BF12aAF22aBF2 4a(AF2BF2)4a85a125 a.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有 d1d22d33，而已知 b2 925a2，c21625a2，离心率 e45，18 2.5 圆锥曲线的统一定义由统一定义AF1ed1，BF1ed2，AF1BF1125 ae(d1d2)125，a1，椭圆方程为 x2y29251.19 2.5 圆锥曲线的统一定义规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法.20 2.5 圆锥曲线的统
8、一定义跟踪演练 3 设 P(x0，y0)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上任意一点，F1 为其左焦点.(1)求PF1的最小值和最大值；解 对应于 F1 的准线方程为 xa2c，根据统一定义：PF1x0a2ce，21 2.5 圆锥曲线的统一定义PF1aex0.又ax0a，当 x0a 时，(PF1)minaca(a)ac；当 x0a 时，(PF1)maxacaaac.22 2.5 圆锥曲线的统一定义(2)在椭圆x225y251 上求一点 P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.解 a225，b25，c220，e245.PF21PF22F1F22，(aex0)2(aex0)24c2.将数据代入得 2
9、545x2040.x05 32.23 2.5 圆锥曲线的统一定义代入椭圆方程得 P 点的坐标为5 32，52，5 32，52，5 32，52，5 32，52.24 2.5 圆锥曲线的统一定义 当堂检测 当堂训练，体验成功 1 2 3 41.已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为_.解析 由题意得1k0，1k0，解得k1，k1，即1k1.1kc恒成立，由椭圆性质知OPb，其中b为椭圆短半轴长，bc，c22c2，(ca)212，eca 22.又0e1，0e 22.答案(0，22)29 2.5 圆锥曲线的统一定义1 2 3 44.已知椭圆x2a2y2b21(ab
10、0)与双曲线x2m2y2n21(m0，n0)，有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若 c 是 a、m 的等比中项，n2 是 2m2 与 c2 的等差中项，则椭圆的离心率是_.30 2.5 圆锥曲线的统一定义解析 由题意，得 a2b2c2，m2n2c2，c2am，2n22m2c2，1 2 3 431 2.5 圆锥曲线的统一定义由可得m2n22n22m2，即n23m2，代入得4m2c2c2m，代入得4m2ama4m.所以椭圆的离心率 eca12.1 2 3 4答案 1232 2.5 圆锥曲线的统一定义课堂小结1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数.2.利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化.