1、 3.1.3 空间向量的数量积运算1.问题引入，提出概念 邯郸广府太极峰会向世界展示了广府城无穷的魅力，古建筑的设计以及古人的智慧令我们赞叹不已！设计、制造这些古朴的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度多少？彼此成多少角度比较合适等等。怎么样才能解决这些问题呢，必须要有强大的数学工具！1.问题引入，提出概念 问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？1熟悉背景、引入课题 问题2:在必修4中已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用。我们还学习了空间向量的加减法、数乘
2、运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？1熟悉背景、引入课题 空间向量有数量积吗？为什么？是怎么样的？1熟悉背景、引入课题 探究：，1熟悉背景、引入课题 回顾平面向量中投影的概念及作法？1、平移转化2空间向量数量积 2、直接作垂线问题4:类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？，2：空间向量数量积 注:两个向量的数量积是数量，而不是向量;规定:零向量与任意向量的数量积等于零.已 知 空 间 两 个 非 零 向 量、ab,则cos,a ba b 叫做、ab 的数量积,记作a b.即cos,a ba ba b.abA1 B1
3、BA类比平面向量,你能说出a b 的几何意义吗?如图11A B 是 b 在 a 方向上的射影向量.2：空间向量数量积 abA1 B1 BAa b的几何意义 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积.a ba|ab|cosba2：空间向量数量积 3：空间向量数量积运算的分配律 问题5：这三个向量一定共面吗？如果不是，这条运算律还成立吗？结合学习任务单，试作出在方向上的投影.,bc b ca 3：空间向量数量积运算的分配律 3：空间向量数量积运算的分配律 问题6：在理清了空间向量数量积的运算律之后，请同学辨析一下书本90页思考题中的三个问题.数量积运算误区判断数量积运算可约吗？可除吗？可结合吗？=
4、aba cbc=,=kabkab若则0abc若、都不为=a b ca b c （）（）例 1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知:如图,PO PA、分别是平面 的垂线、斜线，AO 是 PA在平面 内的射影，l，且lOA，求证：lPA POAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！适当取向量尝试看看！a 4：应用举例 证明：如图,已知:,POAOllOA射影且求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0a PA()0.a PAaPOOAa POa OA,aPAlPA 即.为POAla0,0,a POa OA三垂线定理
5、：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?分析：要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果 m,n,求证:.llllmngm gml 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?共面向量定理,有了!lmngn gml,gxmyn,l gxl myl n0,0,l ml m0,.l glg 即,lgll 即 垂直于平面 内任一直线.证:在 内作不与m,n重合的任一直线g,在,l m n g上取非零向量因m与n相交,故向量m,n,l m n g不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使(,)x y