1、北京市通州区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分(选择题 共40分)一选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合,则.故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集.2.在复平面内,复数(其中是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置.【详解】由题：复数，在复平面内对应的点为，
2、位于第一象限.故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.3.已知点A(2,a)为抛物线图象上一点,点F为抛物线的焦点,则等于( )A. 4B. 3C. D. 2【答案】B【解析】【分析】写出焦点坐标，根据抛物线上点到焦点距离公式即可求解.【详解】由题：点A(2,a)为抛物线图象上一点,点F为抛物线的焦点,所以，根据焦半径公式得：.故选：B【点睛】此题考查求抛物线上的点到焦点的距离，结合几何意义根据焦半径公式求解即可.4.若,则下列各式中一定正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若，所以AC错；，所以B错；若
3、，所以D正确.【详解】由题：若，根据反比例函数性质，所以A错误；若，取，所以B错；若，根据指数函数性质所以C错；若，根据对数函数性质，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值法推翻命题.5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，即可求解.【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中，平面，由图可得：，所以，所以最长的棱长.故选：C【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原.6.甲乙丙丁四名同学和一名老
4、师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A. 24B. 12C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解.【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，2种排法；第三步：排剩下两位同学，2种排法，所以共8种.故选：C【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问题.7.对于向量, “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【
5、解析】【分析】根据向量的运算法则：“”不能推出“”， “”能够推出“”.【详解】当时，满足，不能推出，若，则，所以，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨析即可.8.关于函数有以下三个判断函数恒有两个零点且两个零点之积为-1；函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1；若是函数的一个极值点,则函数极小值为-1.其中正确判断的个数有( )A. 0个B. 1个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】函数的零点个数即的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系.【详解】因为，方程，所以关于的方
6、程一定有两个实根，且两根之积为-1，所以恒有两个零点且两个零点之积为-1，即正确；，对于，所以恒有两个不等实根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为，所以错误；若是函数的一个极值点, ，则，所以函数的增区间为，减区间为，所以函数的极小值为，所以正确.故选：C【点睛】此题考查函数零点问题，利用导函数导论单调性和极值问题，综合性比较强.第二部分(非选择题 共110分)二填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量,若,则_.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.【详解】由题：，所以，所以，解得：.故答案为：【点睛
7、】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.10.在公差不为零的等差数列an中,a1=2,且a1,a3,a7依次成等比数列,那么数列an的前n项和等于_.【答案】【解析】【分析】根据a1,a3,a7依次成等比数列,求出公差，即可求解.【详解】在公差不为零的等差数列an中,a1=2,设公差为且a1,a3,a7依次成等比数列,即，所以，所以数列an的前n项和.故答案为：【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为,且两条渐近线互相垂直,则此双曲线的标准方程为_.【答案】【
8、解析】【分析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出的值，结合焦点坐标即可求解.【详解】由题双曲线焦点在轴，设双曲线方程，两条渐近线互相垂直，即，得，又因为右焦点坐标为,所以，解得，所以双曲线的标准方程为：.故答案为：【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线的基本量，进而得出双曲线的标准方程，考查通式通法和基本计算.12.在中, ,则_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理建立等量关系求解即可.【详解】在中,由正弦定理得：，所以.故答案为：【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在于准确掌握基本计算方法正确求解.13.已知均为大于0的实数
9、,给出下列五个论断:,.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题_.【答案】推出(答案不唯一还可以推出等)【解析】【分析】选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.【详解】已知均为大于0的实数,选择推出.，则，所以.故答案为：推出【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14.如图,某城市中心花园的边界是圆心为O,直径为1千米的圆,花园一侧有一条直线型公路l,花园中间有一条公路AB(AB是圆O的直径),规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划
10、要求:道路PB,QA不穿过花园.已知,(CD为垂足),测得OC=0.9,BD=1.2(单位:千米).已知修建道路费用为m元/千米.在规划要求下,修建道路总费用的最小值为_元.【答案】【解析】【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用.【详解】如图：过点作直线交于，取与圆的交点，连接，则，过点作直线交于，过点作直线交于，根据图象关系可得，直线上，点左侧的点与连成线段不经过圆内部，点右侧的点与连成的线段不经过圆的内部，最短距离之和即，根据几何关系：，所以，所以，所以，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为元.故答案为：【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何
11、性质解决实际问题，需要注意合理地将实际问题抽象成纯几何问题求解.三解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.已知函数.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2) 最小值0；最大值【解析】【分析】（1）对函数进行三角恒等变换得，即可得最小正周期；（2）整体考虑的取值范围，求出最大值和最小值.【详解】解: (1) f(x)最小正周期T =；(2)因为,所以所以当,即时,f(x)取得最小值；当,即时,f(x)取得最大值，所以f(x)在区间上的最小值0；最大值.【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最
12、小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值.16.为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区8所学校学生的体质健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表: 比例 学校等级学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%(1)从8所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；(2
13、)从8所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X,求X的分布列；(3)设8所学校优秀比例的方差为S12,良好及其以下比例之和的方差为S22,比较S12与S22的大小.(只写出结果)【答案】(1) ；(2)见解析； (3)S12=S22【解析】【分析】（1）统计出健康测试成绩达到良好及其以上的学校个数，即可得到先进校的概率；（2）根据表格可得：学生不及格率低于30%的学校有学校BFH三所, 所以X的取值为0,1,2，分别计算出概率即可得到分布列；（3）考虑优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，根据方差关系可得两个方差相等.【详解】解:( 1)
14、8所学校中有ABEF四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% , 所以从8所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为；(2)8所学校中,学生不及格率低于30%的学校有学校BFH三所,所以X的取值为0,1,2. 所以随机变量X的分布列为：X012P(3)设优秀的比例为随机变量Y，则良好及以下的比例之和为Z=1-Y，则，所以：S12=S22.【点睛】此题考查简单几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练掌握分布列的求法和方差关系.17.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD/BC,SAD =DAB= ,SA=3,SB=5,. (1)
15、求证:AB平面SAD；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；(3)点E,F分别为线段BC,SB上的一点,若平面AEF/平面SCD,求三棱锥B-AEF的体积.【答案】(1) 见解析；(2) ； (3)1【解析】分析】（1）通过证明，得线面垂直；（2）结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值；（3）根据面面平行关系得出点F的位置，即可得到体积.【详解】(1)证明:在中,因为,所以. 又因为DAB=900所以, 因为所以平面SAD. (2)解:因为 AD,， 建立如图直角坐标系：则A(0,0,0)B(0,4,0), C(2,4,0),D(1,0,
16、0),S(0,0,3).平面SAB的法向量为.设平面SDC的法向量为所以有即,令，所以平面SDC的法向量为 所以 (3)因为平面AEF/平面SCD,平面AEF平面ABCD=AE,平面SCD平面ABCD=CD,所以,平面AEF平面SBC=EF,平面SCD平面SBC=SC,所以由,AD/BC得四边形AEDC为平行四边形.所以E为BC中点. 又,所以F为SB中点.所以F到平面ABE的距离为,又的面积为2,所以.【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小，根据面面平行的性质确定点的位置求锥体体积.18.已知椭圆C:的长轴长为4,离心率为,点P在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)
17、已知点M (4,0),点N(0,n),若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点,求n的取值范围.【答案】(1) ； (2) .【解析】【分析】（1）根据长轴长和离心率求出标准方程；（2）取PN的中点为Q，以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，所以MQNP,根据垂直关系建立等量关系，结合点P的坐标取值范围，即可得解.【详解】解:( 1)由椭圆的长轴长2a=4,得a=2又离心率,所以所以.所以椭圆C的方程为：. (2)法一:设点,则所以PN的中点,，因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQNP,则， 即，又因为,所以，所以，函数的值域为所以所以. 法二:设点,则.设PN的中点为Q因为以
18、PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以即所以，函数的值域为所以，所以.【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据垂直关系建立等量关系，结合椭圆上的点的坐标特征求出取值范围.19.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数零点的个数.【答案】(1) ；(2)零点的个数为2.【解析】【分析】（1）求出导函数，得出，即可得到切线方程；（2）根据为偶函数，只需讨论在的零点个数，结合导函数分析单调性即可讨论.【详解】解:( 1)因为,所以， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为；(2)因为为偶函数, 所以要求在上零点个数,只需求在上零点个数即可. 令,得,， 所以在
19、单调递增,在单调递减,在单调递增,在单调递减,在单调递增列表得:0+0-0+0-01极大值极小值极大值极小值由上表可以看出在()处取得极大值,在()处取得极小值，; . 当且时 (或,) 所以在上只有一个零点函数零点的个数为2.【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论，结合单调性和极值分别考虑函数值的符号得解.20.已知项数为的数列满足如下条件:；.若数列满足,其中,则称为的“伴随数列”.(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；(2)若为的“伴随数列”,证明:；(3)已知数列存在“伴随数列”,且,
20、求m的最大值.【答案】(1) 不存在“伴随数列”，见解析 ；(2) 见解析；(3)33【解析】【分析】（1）根据“伴随数列”的定义检验即可判定；（2）根据“伴随数列”的定义，结合数列的单调性讨论的符号即可得解；（3）根据数列和其“伴随数列”项的特征，结合单调性分析出，即可求解.【详解】(1)解:数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列” 因为, 所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. (2)证明:因为, 又因为,所以有 所以 所以 成立 (3)1ij m,都有, 因为,.所以,所以 所以因为,所以 又=所以,所以 又,所以 例如:(),满足题意,所以m的最大值是33.【点睛】此题考查数列新定义相关问题，关键在于读懂题意，建立恰当的等量关系或不等关系，求解得值，综合性比较强.