1、模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线xy2 0210的倾斜角等于()ABCD不存在B直线xy2 0210化为yx2 021，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角等于.故选B2已知向量a(0,1,1)，b(1，2,1)若向量ab与向量c(2，m，4)平行，则实数m的值是()A2B2 C10D10Aab(1，1,2)，由(ab)c得，解得m2，故选A3直线l：3xy60被圆C：x2y22x4y0截得的弦AB的长是()A10B5 CDC将圆的方程x2y22x4y0化为标准方程，得(x1)2(
2、y2)25.圆心坐标(1,2)，半径r，圆心到直线的距离d，弦AB的长|AB|2.故选C项4已知点A(2，1,2)在平面内，n(3,1,2)是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是()A(1，1,1)BCDB设平面内的一点为P(x，y，z)(不与点A重合)，则(x2，y1，z2)，n是平面的一个法向量，n，3(x2)(y1)2(z2)0，即3xy2z9.将选项代入检验知B正确，故选B5已知直线l过定点A(2,3,1)，且n(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()AB CDA(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离为.6以F(p0)为焦点的抛物线C的准线与
3、双曲线x2y22相交于M，N两点，若MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为()Ay22xBy24xCx24yDx22yC由题意，以F(p0)为焦点的抛物线C的准线y，代入双曲线x2y22，可得x，MNF为正三角形，p2，p0，p2，抛物线C的方程为x24y.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()ABCDD以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，C1(0,2,1)，(2,0,1)，(2,2,0)，且为平面BB
4、1D1D的一个法向量cos，BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.8已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()Ay21B1C1D1B设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B
5、二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9下列说法中，正确的有()A直线yax3a2(aR)必过定点(3,2)B直线y3x2在y轴上的截距为2C直线xy10的倾斜角为30D点(5，3)到直线x20的距离为7ACD对于A，化简得直线ya(x3)2，故直线必过定点(3,2)，故A正确；对于B，直线y3x2在y轴上的截距为2，故B错误；对于C，直线xy10的斜率为，故倾斜角满足tan ，0CF1PF2的周长为4(1)DF1PF2的内切圆半径为(1)CD由1得，a28，b24，c24.设P(x，y)，则S
6、F1PF2|F1F2|y|4|y|3，解得|y|，选项A错误；设椭圆的上顶点为B，bc2，F1PF2F1BF2，选项B错误；F1PF2的周长为2a2c44，选项C正确；设F1PF2的内切圆半径为r，则SF1PF2|F1P|r|F2P|r|F1F2|r(|F1P|F2P|F1F2|)r4(1)r3，解得r(1)，选项D正确故选CD12已知双曲线C的标准方程为x21，则()A双曲线C的离心率等于半焦距B双曲线y21与双曲线C有相同的渐近线C双曲线C的一条渐近线被圆(x1)2y21截得的弦长为D直线ykxb与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2AD由双曲线C方程可知，a1，b2，c，所以离心率ec
7、.A符合题意；双曲线C的渐近线方程为yx2x，而双曲线y21的焦点在y轴上，渐近线方程为yx，二者渐近线方程不同，所以B不符合题意；圆(x1)2y21的圆心到双曲线C的渐近线y2x的距离为.渐近线y2x被圆(x1)2y21截得弦长为2.C不符合题意；由直线与双曲线的位置关系可知直线ykxb与双曲线的公共点个数只可能为0,1,2，D符合题意三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13与a(2，1,2)共线且满足ab9的向量b_.(2,1，2)依题意设ba(2，2)(R)，所以ab449，解得1.故b(2,1，2)14已知点P是椭圆1上的一点，点Q，则|PQ|的最小值为
8、_设P(x，y)，则|PQ|2y23(x1)2.所以当x1时，|PQ|的最小值为.15若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_，|AB|_.(本题第一空2分，第二空3分)22如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|1，r2|OD|2.|AB|22.16已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1.A(1,0,0)，E，F，所以，易知平面ABC的一个法向
9、量为n1(0,0,1)设平面AEF的一个法向量为n2(x，y，z)，则即取x1，则y1，z3，故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，则sin ，所以tan .四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程. 解线段AB的中点为(1,3)，kAB，弦AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即y2x1.由得(0,1)为所求圆的圆心由两点间距离公式得圆半径r为，所求圆的方程为x2(y1)210.18.(本小题满分12分)如图所示
10、，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且3，N为PD的中点(1)求满足xyz的实数x，y，z的值；(2)若PAAB1，AD2，求MN的长解(1)取PC的中点E，连接NE(图略)，则()()，所以x，y，z.(2)因为PAAB1，AD2，且PAAB，ABAD，PAAD，而|2，所以|.故MN的长为.19(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解(1)设椭圆方程为1(ab0)，因为焦距为2，所以c1，e，所以a2
11、，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则由得(34k2)x28kx80，且0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2得x12x2.又所以消去x2，得，解得k2，k.所以直线l的方程为yx1，即x2y20或x2y20.20(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，ADAA12，AB.(1)求证：EF平面ADD1A1；(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；(3)在线段A1D1上是否存在点M，使得BM平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接AD1，A1D，
12、交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO.因为F是A1C的中点，所以OFCD，OFCD因为AECD，AECD，所以OFAE，OFAE.所以四边形AEFO是平行四边形所以EFAO.因为EF平面ADD1A1，AO平面ADD1A1，所以EF平面ADD1A1.(2)以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为点E，F分别是AB，A1C的中点，ADAA12，AB，所以B(，0,0)，D(0,2,0)，E，F.所以，(0,1,1)设平面EFD的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则z1，x2.所以n(2，1，1)由题知，平面DEC的一个法向量为m(0,0,1)
13、，所以cosn，m.所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是.(3)假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM平面EFD设点M的坐标为(0，t,2)(0t2)，则(，t,2)因为平面EFD的一个法向量为n(2，1，1)，而与n不平行，所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM平面EFD21.(本小题满分12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成的，ADAF，AEAD2.(1)证明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是.解(1)证明：在直三棱柱ADEBCF中，AB平面ADE，AD平面ADE，所以ABAD又
14、ADAF，ABAFA，AB平面ABFE，AF平面ABFE，所以AD平面ABFE.因为AD平面PAD，所以平面PAD平面ABFE.(2)由(1)知AD平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，h,1)，(2,2,0)，(2,0,2)，(1，h,1)设平面AFC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则取x11，则y1z11，所以m(1，1，1)设平面AFP的一个法向量为n(x2，y2，z2)，则取x21，则y21，z21h，所以n(1，1，1h)因为二面角CAFP的余弦值为，所以|cos
15、m，n|，解得h1或h(舍)，所以正四棱锥PABCD的高h1.22(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，离心率e，O为坐标原点，圆O：x2y2与直线AB相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E，ABDC记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是不是定值？证明你的结论解(1)直线AB的方程为1，即bxayab0，由圆O与直线AB相切，得，即，设椭圆的半焦距为c，则e，1e2，由得a24，b21.故椭圆的标准方程为y21.(2)k1k2，为定值，证明过程如下：由(1)得直线AB的方程为yx1，故可设直线DC的方程为yxm，显然m1.设C(x1，y1)，D(x2，y2)联立消去y，得x22mx2m220，则84m20，解得m，且m1，x1x22m，x1x22m22.由k1，k2，得k1k2.