1、第2课时一元二次不等式的应用学 习 任 务核 心 素 养1掌握一元二次不等式的实际应用(重点)2会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)1通过不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养2借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养. 类型1一元二次不等式的实际应用【例1】(对接教材P53例题)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)
2、写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)依题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)整理，得y6 000x22 000x20 000(0x1)本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当即解得0x，所以为保证本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x应满足0x.求解一元二次不等式应用问题的步骤1国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定
3、，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解设税率调低后“税收总收入”为y元y2 400m(12x%)(8x)%m(x242x400)(0x8)依题意，得y2 400m8%78%，即m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得x242x880，解得44x2.根据x的实际意义，知x的范围为0x2. 类型2不等式的恒成立问题【例2】若关于x的不等式(m22m3)x2(m3)x10对任意xR恒成立
4、，求实数m的取值范围对应的不等式是不是关于x的一元二次不等式？其对应函数的图象有何特征？如何用数学语言表述？解当m22m30时，m3或m1.若m3，不等式可化为10，显然对于xR恒成立，满足题意若m1，不等式可化为4x10，显然不满足题意当m22m30时，由题目条件，知得即m0，对任意实数xR恒成立的条件是(2)一元二次不等式ax2bxc0，对任意实数xR恒成立的条件是(3)一元二次不等式ax2bxc0未说明为一元二次不等式时，对任意实数xR恒成立时满足的条件为或2已知关于x的不等式(m24m5)x24(m1)x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解当m24m50，即m1或m5时，显然m
5、1符合条件，m5不符合条件；当m24m50时，由二次函数对一切实数x恒成立，得解得1m19.综合得，实数m的取值范围为m|1m191二次不等式ax2bxc0的解集为全体实数的条件是()A.BC.DD二次不等式ax2bxc0的解集为全体实数等价于二次函数yax2bxc的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要.2已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是()A4a4B4a4Ca4或a4Da4A依题意应有a2160，解得4a4，故选A.3产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2，x(0,240)若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100台B120台C150台D180台C由题设，产量x台时，总售价为25x万元，欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x3 00020x0.1x2，即0.1x25x3 0000，x250x30 0000，解之得x150或x200(舍去)故欲使生产者不亏本，最低产量是150台故选C.4若关于x的不等式(k1)x2(k1)x10恒成立，则实数k的取值范围是_k|3k1(1)当k10，即k1时，10恒成立，符合题意(2)当k10时，由题意可知解得3k1.综上可知30(0ax2bxc0b0，c0a0