1、3.1.3空间向量的数量积运算 复习：一、平面向量的夹角：叫做向量 a与 b的夹角。已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则AOBabAOBba二、平面向量的数量积的定义：已知两个非零向量a,b，则|a|b|cos叫做向量a,b的数量积，记作ba 即cos|baba并规定00a1)空间向量的夹角的定义:OABaabb如图,已知空间两个非零向量、a b,在空 间任取一点 O,作 OAa,OBb,则角AOB叫做向量 a 与b 的夹角,记作:,a b.规定:0,a b 如果,2a b,则称a 与b 垂直,记为ab,a bb a这样规两个夹(2)在的定下，向量的角就被唯
2、一确定了，并且,a b=0 时,ab与同向;,a b=时,ab与反向 4讲授新课：异面直线及所成的角的范围?(0,2 2）空间向量的数量积 注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.已 知 空 间 两 个 非 零 向 量、a b,则cos,a ba b 叫做、ab 的数量积,记作a b.即cos,a ba ba b.5学.科.网3）两个向量的数量积的几何意义 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量、a b,则cos,a ba b 叫做、ab 的数量积,记作a b.即cos,a ba ba b.类比平面向量,你能说出a b 的几何意义吗?6zxxkw22|aa
3、 即 2|aa(求线段的长度);ab0a b(垂直的判断);cos,a ba bab(求角度).74)空间两个向量的数量积性质 5)空间向量的数量积满足的运算律()()aba b a bb a(交换律)()abca cb c (分配律)8例1 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a，如图所示，点 E，F 分别是 AB，AD的中点，求：(1)AB AC；(2)EF BC.【解】(1)AB AC|AB|AC|cosAB，AC aa12a22.(2)E，F 分别为 AB，AD 的中点，EF 12BD.EF BC 12BD BC12aa12a24.例1 已知空间四边形 ABCD 的每条
4、边和对角线长都等于 a，如图所示，点 E，F 分别是 AB，AD的中点，求：(1)AB AC；(2)EF BC.互动探究 1 本例中，若 G 点为 CD 的中点，其他条件不变，求GF AC.ABCDEFG例 2.如图，在空间四边形 ABCD 中，2AB，3BC，2 3BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB 与CD 的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆 解：CDBDBC，AB CDAB BDAB BC|cos,ABBDAB BD|cos,ABBCAB BC 2 2 3 cos1502 3 cos120633 31cos,232|AB CDAB CDABCD，AB 与CD 的夹角的余弦值为 12说明
5、：由图形求向量的夹角时易出错，如,150AB BD易错写成,30AB BD，注意推敲！DCBDABCA|85.ACABCDA B C D 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC例3.22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA解：ACABADAA练习：已知线段AB、BD 在平面 内，线段 ，求CD之间的距离.BDABAC,ABa BDbACccabCABD解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc222CDabc14复习：空间两个非零向量a b、的数量积a b:cos,a ba ba b 22|aa 即 2|aa(求线段的长度);ab0a b(垂直的判断);cos,a ba bab(求角度).以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.也有下列三个重要性质：abab,a b15小结：