1、3反证法课后作业提升1否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解解析:至多有两个解包含:有两解,有一解,无解三种情况.答案:C2有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两人说得正确,则获奖歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四人的话都是错的;同理,可推出乙、丙、丁获奖情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案:C3用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0
2、)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个是偶数D.假设a,b,c至多有两个是偶数解析:对“至少有一个”的否定应为“一个也没有”,故选B.答案:B4若x,y0且x+y2,则x1+y和y1+x的值满足()A.x1+y和y1+x中至少有一个大于12B.x1+y和y1+x都小于12C.x1+y和y1+x都大于12D.不确定解析:利用反证法解决.假设x1+y12,y1+x12,x0,y0,则1+y2x,1+x2y2+x+y2x+2yx+y2,这与x+y2矛盾.答案:A5用反证法证明命题“若p
3、1p2=2(q1+q2),则关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实数根”时,应假设为.答案:两个方程都没有实数根6如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则A1B1C1为三角形,A2B2C2为三角形(填“锐角”或“钝角”).解析:由已知A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1为锐角三角形.若A2B2C2是锐角三角形,由sinA2=cosA1=sin2-A1,sinB2=cosB1=sin2-B1,sinC2=cosC1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,A2+B2+C2=2
4、,与A2+B2+C2=矛盾,A2B2C2是钝角三角形.答案:锐角钝角7求证:一个三角形中至少有一个内角不小于60.分析:“至少”问题可用反证法,根据三角形的内角和为180证明.解:已知:A,B,C为ABC的三个内角.求证:A,B,C中至少有一个不小于60.证明:假设ABC的三个内角A,B,C都小于60,即A60,B60,C60,三式相加得A+B+C14,(1-b)c14,(1-c)a14,三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c164.又(1-a)a1-a+a22=14,同理,(1-b)b14,(1-c)c14,(1-a)a(1-b)b(1-c)c164.得出矛盾,因此假设不成立.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.证法二:假设三式同时大于14.0a0.(1-a)+b2(1-a)b14=12.同理,(1-b)+c2,(1-c)+a2都大于12.三式相加得(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a232,即3232矛盾.假设不成立.原命题成立.2
