1、集宁一中2018-2019学年第二学期期中考试高一年级数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一项是正确的)1.集合 ，则集合中的元素个数为（ ）A. 15B. 13C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】根据题意，确定的可能取值；再确定能取的所有值，即可得出结果.【详解】因为，所以能取的值为；能取的值为，因此能取的值为，共11个，所以集合中的元素个数为11.故选C【点睛】本题主要考查集合中元素的个数，由列举法列举出所有元素即可，属于基础题型.2.设角 终边上一点，则的值为()A. B. 或C. D. 与有关【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义，表示出，
2、再讨论和，即可求出结果.【详解】因为角 终边上一点为，所以，当时，所以；当时，所以.故选B【点睛】本题主要考查三角函数定义，熟记三角函数的定义即可，属于基础题型.3.下面三件事,合适的抽样方法依次为 ( )从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90100分,10人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况；运动会服务人员为参加400m决赛6名同学安排跑道.A. 分层抽样,分层抽样,简单随机抽样B. 系统抽样,系统抽样,简单随机抽样C. 分层抽样,简单随机抽样,简单随机抽样D. 系统抽样,分层抽样,简单随机抽样【答案】D【解析】【
3、分析】根据抽样方法的特征与适用条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，适合系统抽样的方法；一次数学竞赛中,某班有10人在110分以上,40人在90100分,10人低于90分.现在从中抽取12人了解有关情况；适合分层抽样的方法；运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道；适合简单随机抽样；故选D【点睛】本题主要考查抽样方法，熟记抽样方法的特征与适用条件即可，属于常考题型.4.为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则
4、支出在的同学多少人（ ）A. 100B. 30C. 130D. 67【答案】B【解析】【分析】先由题意，得到支出在的频率，再由支出在的同学总数，即可求出结果.【详解】由频率分布直方图可得：支出在的频率为，又支出在（单位：元）的同学有67人，支出在的频率为，因此，支出在的同学共有人.故选B【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.5.若点,直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】C【解析】试题分析：画出三点坐标可知，两个边界值为和,数形结合可知为。考点：1相交直线；2数形结合的方法；6.已知、取值如下表：014561.
5、35.67.4画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值为（ ）A. 1.425B. 1.675C. 1.7D. 1.4【答案】B【解析】【分析】先由题中数据得到、的平均值、，再将点代入回归直线方程，即可得出结果.【详解】由题意可得，又回归直线的方程为，所以，即，解得.故选B【点睛】本题主要考查线性回归方程，根据回归直线必过样本中心，即可求解，属于常考题型.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】试题分析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 故选C.考点：程序框图.8.圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为(
6、)A. -2B. 1C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由两圆对称，得到两圆的圆心中点坐标在直线上，进而可求出结果.【详解】因为圆的圆心坐标为；圆的圆心为，所以，两圆心的中点坐标为，又两圆关于直线对称，所以点在直线上，因此，解得.故选D【点睛】本题主要考查由两圆位置关系求参数的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型.9.已知直线与圆交于A，B两点，P为圆上异于A，B的动点，则的面积的最大值为()A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】试题分析：设与直线平行的直线的方程为当直线与圆相切时，利用圆心到直线距离等于半径得，C=12或C=-8显然，当C=12时，直线与圆的切点到直线的
7、距离（两条平行线间的距离）最大且为，同时可得，弦，所以的面积的最大值为故选C考点：直线与圆的综合问题10.在区间上随机地取出两个数，满足的概率为，则实数( )A. 2B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意作出平面区域，结合与面积有关的几何概型，即可求出结果.【详解】在区间上随机地取出两个数，则对应的区域为边长为2的正方形区域，其面积为；在正方形区域内作出所表示的图像如下：阴影部分所表示区域，即为所表示区域；由得，因此阴影部分面积为，因为在区间上随机地取出两个数，满足概率为，所以，解得.故选D【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.11.已知
8、函数，则函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值得到答案.【详解】故函数非奇非偶，排除B,C. .故选A【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.12.若与相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行
9、求解【详解】由题意作出图形分析得：由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心则在中，斜边上的高为半弦，且,用等积法可得：故选：D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了圆的切线性质及直角三角形中求解线段长度的等面积的方法，属于基础题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题纸题号对应的的横线上)13.已知, 则的值为_【答案】【解析】【分析】先由求出，再对所求式子化简整理，即可求出结果.【详解】因为，所以，因此，所以.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题，熟记公式即可，属于常考题型.14.已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所
10、成角的余弦值为 .【答案】【解析】试题分析：连接DE，设AD=2，易知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3 ，cosDAE=考点：异面直线及其所成的角【此处有视频，请去附件查看】15.若满足关系:,求出的最大值_.【答案】【解析】【分析】先将整理，可得到表示圆上的点，再由目标函数表示圆上的点与定点连线的斜率；结合图像，即可求出结果.【详解】因为可化为，因此表示圆上的点，所以表示圆上的点与定点连线的斜率；作出图像如下：由图像易得，当过点的直线与圆相切时，斜率即可取最大或最小值；由得，根据直线与圆相切可得，即，解得，因此的最大值为.【点睛
11、】本题主要考查简单的线性规划问题，只需理解目标函数的几何意义，根据图像即可求解，属于常考题型.16.直线l与直线分别交于A，B两点，线段AB的中点为，则直线l的斜率为_.【答案】 【解析】设直线的斜率为，又直线过点，则直线的方程为，联立直线与直线，得到，解得，所以，联立直线与直线，得到，解得，所以，又线段的中点，所以，解得故答案为：。三、解答题(本大题6个题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.求下列各式的值：(1)；(2)【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果；（2）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊
12、角对应的三角函数值，即可得出结果.【详解】解：（1）原式；（2）原式.【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值问题，熟记诱导公式即可，属于常考题型.18.从3名男生和名女生中任选人参加演讲比赛,（1）求所选人至少2名男生的概率;（2）求所选人恰有名女生的概率;（3）求所选人中至少有名女生的概率。【答案】（1） （2） （3）.【解析】【分析】先求出从3名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，所包含的基本事件总数；（1）根据题意得到满足“所选人至少2名男生”的基本事件个数，即可求出结果；（2）根据题意得到满足“所选人恰有名女生”的基本事件个数，即可求出结果；（3）根据题意得到满足“所选人中至少有名女生
13、”的基本事件个数，即可求出结果.【详解】从3名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，共包含个基本事件；（1）记“所选人至少2名男生”为事件，因此事件所包含的基本事件个数为个；则所选人至少2名男生的概率为；（2）记“所选人恰有名女生”为事件，因此事件所包含的基本事件个数为个；则所选人恰有名女生的概率为；（3）记“所选人中至少有名女生”为事件，因此事件所包含的基本事件个数为个；则所选人中至少有名女生的概率为.【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于基础题型.19.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图（1）根据频率分
14、布直方图，分别求，众数，中位数。（2）估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分。（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？【答案】（1）众数为75中位数为；（2）平均分为71、(3)11.【解析】【分析】（1）先根据频率之和为1，可求出；再由频率最大的一组，得到众数；根据中位数两边的频率之和相等，可求出中位数；（2）由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值；（3）先由题意确定抽样比，进而可求出在分数段抽取的人数.【详解】解析（1）由题意可得，解得；根据频率分布直方图可知：分数段的频率最高，因此众数为75；又由频率分布直方图可知
15、：分数段的频率为，因为分数段的频率为，所以，中位数为.（2）由题中数据可得：该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为：；（3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为；又在分数段共有人，因此，在分数段抽取的人数是人.【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求中位数、众数、平均数、以及分层抽样的问题，熟记相关概念与公式即可，属于常考题型.20.下表是某地一家超市在2017年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润（单位：万元）的有关数据星期星期2星期3星期4星期5星期6利润23569（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；（2）估计星期日获得的利润为多少万元参考公式：
16、回归直线方程是：,【答案】（1）（2）星期日估计活动的利润为10.1万元【解析】【分析】（1）先由题中数据得到，再由公式求出，即可得出结果；（2）将代入（1）的结果，即可求出估计值.【详解】（1）由题意可得，因此，所以，所以；（2）由（1）可得，当时，（万元），即星期日估计活动的利润为10.1万元。【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求即可，属于常考题型.21.已知点在圆上(1)求圆方程；(2)若圆与直线交于A，B两点，且，求的值【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，把三个点代入，联立方程组求得（2）设出点的坐标，联立直线与圆的方程，消去，确定关于的一元
17、二次方程，已知的垂直关系，确定，利用韦达定理求得a试题解析：(1) 设，由题意可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的圆心为(3,1),半径长为=3，所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)由消去y,得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,此时判别式=56-16a-4a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有由于OAOB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,由得a=-1,满足0,故a=-1.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程解题时把圆的代
18、数问题与圆的平面性质有机结合是解题的关键22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切(1)求圆O的方程(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由【答案】（1）x2+y2=4.（2）直线l斜率为2.【解析】试题分析：（1）先根据圆心到切线距离等于半径求，再根据标准式写圆方程（2）由题意得OM与AB互相垂直且平分,即得原点O到直线l的距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率试题解析：（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以 r=2. 所以圆O的方程为 x2+y2=4.（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=2,经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为2.