1、第3课时 直线的一般式方程目 标 要 求1.掌握直线的一般式方程2能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处3能利用直线的一般式方程解决有关问题.热 点 提 示学习本节内容时，应从直线的几种特殊形式的方程入手，归纳总结它们的共同特征，从而提炼抽象直线的一般式方程；还应分析这些不同形式的直线方程，把握它们的异同点，重点解决：(1)一般式方程与其他方程的互化；(2)直线一般式方程的应用.直线的点斜式、斜截式、两点式方程都是关于x、y的二元一次方程那么直线与二元一次方程的关系是什么呢？平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二
2、元一次方程表示吗？每一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线吗？1一般式方程(1)定义：关于 x，y 的二元一次方程 AxByC0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(2)斜率：直线 AxByC0(A，B 不同时为 0)，当 B0时，其斜率是AB，在 y 轴上的截距是CB.当 B0 时，这条直线垂直于 x 轴，没有斜率2二元一次方程与直线的关系二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是的坐标一一对应1若直线(2m2m3
3、)x(m2m)y4m1 在 x 轴上的截距为 1，则实数 m 为()A1 B2C12D2 或12解析：由题知直线过点(1,0)，2m2m34m1，则m12或 2.答案：D2经过点A(1,2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A1条B2条C3条D4条解析：直线有三条，分别是过原点，斜率为1的直线答案：C3不论 m 为何值，直线 mxy2m10 恒过定点()A(1，12)B(2,1)C(2，1)D(1，12)解析：直线变形为m(x2)(y1)0，过定点(2,1)答案：B4若点A(a,12)在过点B(1,3)和C(5,7)的直线上，则a_.解析：过B、C的直线方程为xy20，a1220
4、，则a10.答案：105设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别求m的值(1)在x轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P(1，1)解：(1)直线过点 P(1,0)，m22m32m6.解之得 m3 或 m1.(2)由斜率为 1，得m22m32m2m11，解之得 m1 或 m43.(3)直线过定点 P(1，1)，则(m22m3)(2m2m1)2m6，解之得 m53或 m2.类型一 正确理解直线的一般式方程【例1】在方程AxByC0中，A、B、C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴；(2)平行于y轴；(3)与x轴重合；(4)与y轴重合思路分析：先研究与坐
5、标轴平行或重合的直线方程形式的特点，再与一般式方程AxByC0进行对比解：(1)当A0，B0，C0时，方程表示的直线平行于x轴(2)当A0，B0，C0时，方程表示的直线平行于y轴(3)当A0，B0，C0时，方程表示的直线与x轴重合(4)当A0，B0，C0时，方程表示的直线与y轴重合 直线l的方程为AxByC0，若直线l过原点和二、四象限，则()AC0，B0BA0，B0，C0CAB0，C0解析：l 过原点，C0，又 l 过二、四象限，斜率kAB0.答案：D类型二 求直线的一般式方程【例 2】根据下列条件写出直线的方程，并化成一般式(1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)；(2)过点 B(3,0)
6、，且垂直于 x 轴；(3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为2；(4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴；(5)经过两点 A(1,5)，B(2，1)；(6)在 x、y 轴上的截距分别为3、1.思路分析：根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程解：(1)由点斜式方程得：y3 3(x5)，化简得 3xy35 30.(2)x3，即 x30.(3)由斜截式得 y4x2，即 4xy20.(4)y3，即 y30.(5)由两点式可得 y515x(1)2(1)，整理得 2xy30.(6)由截距式得 x3 y11，整理得：x3y30.,根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是
7、12，经过点 A(8，2)；(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32，3；(4)经过两点 P1(3，2)、P2(5，4)解：(1)由点斜式得y(2)12(x8)，即 x2y40；(2)由斜截式得 y2，即 y20；(3)由截距式得x32 y31，即 2xy30；(4)由两点式得 y(2)4(2)x353，即 xy10.类型三 平行与垂直问题【例3】直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，则m的值为()A2 B3C2或3D2或3解法一：因为 l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20，当 m0 时，显然 l1 与 l2 不平行；
8、当 m0 时，若 l1l2，则2mm13 42，即 m2m60.解之得 m2 或 m3.显然 m2 或 m3 满足式解法二：若 l1l2，则 23m(m1)0.解之得 m2或 m3.当 m2 或 m3 时，A1C2A2C12(2)m444m0.所以 m2 或 m3.答案：C直线(a2)x(1a)y30 与(a1)x(2a3)y20 互相垂直，则 a 的值为()A1 B1C1 D32解析：A1a2，A2a1，B11a，B22a3，因为两直线垂直，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，整理得(a1)(a1)0，所以a1或a1.答案：C类型四 直线过定点问题【例4】已知直线l：5ax5ya30.
9、(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围思路分析：由题目可获取以下主要信息：直线的一般式方程中含有参数a；直线过第一象限时与a的值无关；第(2)问l不过第二象限解答本题可先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问，也可以变形将x，y看成a的系数，a的系数与常数项均为0，解方程组得定点坐标；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得解：(1)解法一：将直线 l 的方程整理为 y35a(x15)，l 的斜率为 a，且过定点 A(15，35)，而点 A(15，35)在第一象限，故不论 a 为何值，
10、l 恒过第一象限解法二：直线 l 的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的 a 总成立，必有5x105y30，即x15y35.即 l 过定点 A(15，35)以下同解法一(2)直线 OA 的斜率为 k3501503.要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截距不大于零，即令 x0 时，ya35 0，a3.温馨提示：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标在变形后特点如果还不明显，可采用解法二，即将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点已知(k1
11、)x(k1)y2k0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标解：整理直线 l 的方程得(xy)k(xy2)0.无论 k取何值，该式恒成立，所以xy0 xy20，解得x1y1，所以直线 l 经过定点 M(1，1)类型五 对称问题【例5】已知直线l：x2y20，试求：(1)点P(2，1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：yx2关于直线l的对称直线l2的方程；(3)直线l关于点A(1,1)的对称直线方程思路分析：本题是求有关对称点、对称直线的问题，利用垂直平分的关系来解题解：(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x0，y0)，则线段 PP的中点 M 在
12、对称轴 l 上，且 PPl.y01x02(12)1，x0222y01220，解之得：x025，y0195，即 P坐标为(25，195)(2)直线 l1：yx2 关于直线 l 的对称直线为 l2，则 l2 上任一点 P(x，y)关于 l 的对称点 P(x，y)一定在直线 l1上，反之也成立由yyxx(12)1，xx22yy220，得x3x4y45，y4x3y85，(3)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l，则直线 l 上任一点 P(x1，y1)关于点 A 的对称点 P(x，y)一定在直线 l上，反之也成立由xx121，yy121，得x12x，y12y，将(x1，y1)代入直线 l 的
13、方程得：(2x)2(2y)20，即直线 l的方程为 x2y40.温馨提示：对称问题可分为四种类型：(1)点关于点的对称点；(2)点关于直线的对称点；(3)直线关于直线的对称直线；(4)直线关于点的对称直线对于(1)利用中点坐标公式即可对于(2)需利用“垂直”“平分”两个条件若(3)(4)在对称中心(轴)，及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常采取坐标转移法，其次对于对称轴(中心)是特殊直线，如：坐标轴、直线yxb，采取特殊代换法，应熟练掌握如右图，已知点A(2,5)与点B(4，7)，试在y轴上求一点P，使得|PA|PB|的值最小解：先求出 A 点关于 y 轴的对称点 A(2,5)，显然|PA|
14、PA|，故 A、P、B 三点共线时，|PA|PB|的值最小直线 AB 的方程为y757 x424，化简得 2xy10.令 x0，得 y1.故所求 P 点坐标为 P(0,1)1(1)直线方程的一般式可以表示任何一条直线；(2)点斜式、斜截式、两点式、截距式都可化为一般式，但是直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都不能表示任一条直线；(3)一般式不一定都能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式2我们已经学习了直线方程的五种形式，在设直线方程时选择形式应注意：选用点斜式、斜截式要注意斜率不存在的情况选用两点式要注意与坐标轴垂直的情况；选用截距式要注意截距为零的情况，不要漏解3在解题时如果没有特殊说明
15、，所求出的直线方程都应化为斜截式或一般式4在解答与直线相关的问题时，经常会遇到对称的问题，如求一个点关于一条直线的对称点，求直线关于点的对称直线，求直线关于线的对称直线的问题，这需要综合运用垂直与直线方程的相关知识将线关于点对称的问题、线关于线对称的问题转化为点的对称问题对称问题直线关于点、直线的对称直线的方程也是高考的重要考点之一，解决这类问题的基本思想是转化的思想，即转化为点关于点、直线的对称问题点关于点的对称问题借助中点坐标公式来解决，点关于直线的对称点借助于中点坐标公式及相互垂直的两条直线的斜率关系来解决，下面从两个角度谈一下对称问题一、中心对称1点M(x，y)关于点A(a，b)的对称
16、点M的坐标为(2ax,2by)，特别地M(x，y)关于原点的对称点是M(x，y)2直线AxByC0(A、B不全为0)关于A(a，b)的对称直线的方程是A(2ax)B(2by)C0；特别地直线AxByC0(A、B不全为0)关于原点的对称直线方程为A(x)B(y)C0，即AxByC0.【例 1】求直线 l1：y13x2 关于点(1,2)的对称直线 l2 的方程解法一：在 l2 上任取一点 M(x，y)，则 M 关于(1,2)的对称点 M(2x,4y)在直线 l1 上，4y13(2x)2，即 x3y160.解法二：由中心对称性质 l2l1，设 l2 的方程为 y13xm.在 l1 上取一点 M(0，
17、2)，M 关于(1,2)的对称点为(2,6)在 l2 上，6132m.m163.l2 方程为 y13x163，即 x3y160.二、轴对称1点关于直线的对称(1)点M(a，b)关于x轴、y轴的对称点分别为(a，b)、(a，b)(2)点M(a，b)关于直线xm、yn的对称点分别为(2ma，b)、(a,2nb)(3)点M(a，b)关于直线yx、yx的对称点分别为(b，a)、(b，a)(4)点 M(a，b)关于直线 AxByC0(A0，B0)的对称点 M(m，n)满足Aam2Bbn2 C0，nbma(AB)1.2直线关于直线的对称直线在已知直线上取特殊点，转化为点关于直线的对称问题【例2】直线l1：yx1，求l1关于直线y2x对称的直线l2的方程解：由yx1，y2x，得x1，y2，得 l1 与对称轴的交点M(1,2)，M 必在 l2 上，在 l1 上取点 N(0,1)，设 N 关于直线 y2x 的对称点为N(m，n)，则n12 2m2，n1m 21，解得m45，n35，N(45，35)，kMN2351457.l2 的方程为 y27(x1)，即 7xy50.
