1、首师大附中20202021学年度第一学期高二数学第一次月考试题2020.9一、单项选择题统计与概率为15小题；平面向量为67小题；空间向量与立体几何为810题.1. 从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，50进行编号，然后从随机数表第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（ ）（注：表为随机数表的第1行与第2行）0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A. 24B. 36C. 46D. 47【答案】A【解析】【分
2、析】按要求两个数字为一个号，不大于50且前面未出现的数，依次写出即可【详解】由题知，从随机数表的笫1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24.故选A【点睛】本题考查随机数表法，属于简单题2. 一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为( )A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.64【答案】C【解析】由题意可知频数在的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.故选C.3. 从四双不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”（ ）A. 是对立事件B.
3、不是互斥事件C. 是互斥但不对立事件D. 都是不可能事件【答案】A【解析】【分析】从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为:“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,即可求得答案.【详解】从双不同的鞋中任意摸出只,可能的结果为:“恰有只成对”,“只全部成对”,“只都不成对”,故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有只成对”+“只都不成对”“至少有两只不成对”.事件“只全部不成对”与事件“至少有只成对”是:对立事件.故选:A.【点睛】本题主要考查了判断2个事件是否是对立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体分析,考查了分析能力,属于基础题.4. 甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，
4、用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）A. 甲得9张，乙得3张B. 甲得6张，乙得6张C. 甲得8张，乙得4张D. 甲得10张，乙得2张【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意可知：乙获得12张游戏牌概率为，所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，故选A考点：排列组合问题5. 袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量，则8的概率P（8
5、）等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可根据互斥事件的性质先求出得分小于8分的概率.【详解】袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量，由题意得得分小于8分的只有两种情况：取到1红3黑，计6分，取到4黑，计4分，根据互斥事件概率得：则8的概率.故选：B.【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率的求法，属于基础题.6. 如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，用表示出，得到关于的函数，根据的范围计算函数的值域得出答案.【详解】解：由题意
6、可知，,设，则，所以，因为，所以当时，取最小值，当时，取最大值4，所以取值范围是，故选：B【点睛】此题考查平面向量基本定理，数量积运算，属于中档题.7. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）A. B. C. D. 12【答案】C【解析】【分析】用正弦定理将条件转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦秦九韶
7、公式即可求出三角形的面积.【详解】在中，因为，由正弦定理可得：，设，且，解得，即，且，.故选：C.【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦秦九韶公式应用，考查理解辨析、运算求解能力，属基础题.8. 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在平行六面体中，根据空间向量加法合成法则，对向量进行线性表示即可【详解】解：因为，所以，在平行六面体中，故选：C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.9. 在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ）A. B. C. D.
8、【答案】B【解析】【分析】求出点坐标，然后计算【详解】点在平面内的正投影为点，则故选：B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离属于基础题10. 在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.二、填空题11-15题均为空间向量的题目11. 空间两点，间的距离为_【答案】【解析】【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案【详解】由空间中两点间
9、的距离公式可得; ;故距离为3【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题12. 在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为_.【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得向量与向量所成的角.【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，则.因此，向量与向量所成的角为.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法求解向量所成的角，考查计算能力，属于基础题.13. 已知平面的一个法向量，且，则直线与平面所成的角为_【答案】【解析】【分析】设直线与平面所成的角为， 由，利用空间向量的数量积即可求解.【详解
10、】解：设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角为故答案为：【点睛】本题考查了空间向量法求线面角，熟记公式是解题的关键，属于基础题.14. 已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则_.【答案】3【解析】【分析】根据向量的垂直关系计算即可.【详解】因为直线与平面垂直，为直线的一个方向向量，向量与平面平行，所以，即，解得故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标运算，考查了直线的方向向量，属于容易题.15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是_.【答案】【解析】【详解】以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设 因
11、此 ,设平面一个法向量为 ，取 因此直线与平面所成角的正弦值是三、解答题16、17题为统计；18、19题为概率；20、21题为空间向量与立体几何16. 中国女排一直是国人的骄傲，2019年女排世界杯于9月14日9月29日在日本举行，中国女排10连胜提前夺冠，获世界杯第五冠三大赛第十冠.中国女排用胜利点燃国人的激情，女排精神成为了拼搏不服输的代表.某校受此影响，也举办了校园排球联赛，每班各自选出12人代表队，最后甲乙两班进入决赛，如下茎叶图所示的是对每名队员上场时间做的统计，根据茎叶图回答问题：（1）计算甲乙两班队员上场的平均时间，并根据茎叶图分析哪班队员上场时间更均衡(不需要计算)；（2）赛后
12、学校在上场时间超过50分钟(包括50分钟)的队员中随机抽取2人评为最佳运动员，则两人中至少有一人来自乙班的概率是多少？【答案】（1）甲班队员上场的平均时间31.25，乙班队员上场的平均时间34.5，甲班队员上场时间更均衡；（2）.【解析】【分析】（1）由茎叶图中数据直接求平均数（2）列举法写出从5人中选出2人的所有情况，再找出至少有一人来自乙班的选法情况，相比即可求概率【详解】解：（）甲班队员上场的平均时间，乙班队员上场的平均时间由茎叶图分析甲班队员上场时间更均衡（）上场时间超过50分钟的队员甲班有两人为，乙班有3人为，则从5人中随机抽取2人的取法有：，共有10种，至少有一人来自乙班的有9种，
13、故两人中至少有一人来自乙班的概率点睛】本题考查茎叶图，平均数，古典概型等，属于基础题17. 2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善生存环境质量.某部门在某小区年龄处于区间内的人中随机抽取人进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到图各年龄段人数的频率分布直方图和表中统计数据.（1）求的值；（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）；（3）从年龄段在的“环保族”中采用分层抽样的方法抽取9人进行专访
14、，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在区间中的概率.组数分组“环保族”人数占本组频率第一组450.75第二组25第三组0.5第四组30.2第五组30.1【答案】（1），；（2）31；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和表中统计数据计算可得；（2）根据频率分布直方图计算出平均数即可；（3）根据古典概型的概率计算公式计算可得；【详解】解：（1）对于第一组，人数为，占总人数，故总人数人，所以，.（2）设这人年龄的平均值为，所以.（3）易知采用分层抽样法抽取的9人中，在内的有5人，在内的有4人，选取2名记录员的可能情况共有种，均在内的有种，恰有一个在内的有
15、种，故所求概率.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型的概率计算问题，属于中档题.18. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率【答案】（I）|=36，P（A）= （II）（III）【解析】【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基
16、本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.【详解】（I）所有可能的基本事件为：共种.其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.（III）由（I） “两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有 三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.19. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“
17、书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、，己知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值；（2
18、）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果.【详解】（1）依题，解得（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件，则；.故.【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.20. 如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF平面ABCD且DF.（1）求证：EF/平面ABCD；（2）若ABC=BCE，求二面角ABFE的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分
19、析】（1）要线面平行，即证直线在面外且直线平行于平面内的一条直线，故过点E作EHBC于构造平行四边形即可得到线线平行.（2）连接HA，根据题意，AHBC，以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAF和平面BEF的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值.【详解】（1）过点E作EHBC，连接HD，EH，因平面ABCD平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD平面BCE=BC，所以EH平面ABCD，因为FDABCD，FD，所以FD/EH，FD=EH，故平行四边形EHDF，所以EF/HD，由EF平面ABCD，HD平面ABCD，所以EF/平面ABCD；（2）连接HA，根据
20、题意，AHBC，如图：以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（1，0，0），E（0，），F（-2，），则（1，0），（1，0，），（3，），设平面BAF的法向量为（x，y，z），得（，1，2），设平面BEF的法向量为，由，得，由cos，所以二面角AFBE的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的证明，以及建系利用法向量求二面角，是高考中的常见题型，考查了推理判断和空间想象能力，属于较难题.21. 如图所示，在长方体，为棱的中点，分别以，所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.（1）求点的坐标；（2）求点的坐标.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据点所在位置，结合几何体的棱长，即可容易求得点的坐标；（2）由中点坐标公式即可容易求得结果.【详解】（1）由已知，得由于点在轴的正半轴上，故.同理可得，.由于点在坐标平面内，故.同理可得，.与点的坐标相比，点的坐标中只有竖坐标不同，则.（2）由（1）知，知，则的中点为，即.【点睛】本题考查空间直角坐标系中某一点坐标的求解，属基础题.