1、山东省烟台市招远市第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求，第1113题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.1.已知数列则是它的A. 第项B. 第项C. 第项D. 第项【答案】B【解析】【分析】由数列的前几项可得其一个通项公式，由此可求是它的第项.【详解】已知数列则数列的一个通项公式为 则 故选B.【点睛】本题考查由数列的前几项写出数列的一个通项公式，属基础题.2.正项等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析
2、】【分析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得结果.【详解】在等比数列中，由等比数列的基本性质可得，因此，故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列基本性质和对数运算性质求值，考查计算能力，属于基础题.3.已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由函数在R上是增函数可知A项正确；B项时不正确；C项时不正确；D项时不正确考点：不等式性质4.若，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用作差法可求得出，可得出，解该不等式即可得出结果.【详解】，可得，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用作差法比较大小，同时也涉及
3、了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.若，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别解不等式和，将两个不等式的解集取交集可得出结果.【详解】，不等式即为，解此不等式得或；又，不等式即为，解此不等式得或.因此，不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知数列的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时，当时首项，公比故选C7.设.那么，的最小值是（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【详解】由，可知.所以，. 选C.8.三国时期著名的数学家刘徽对推导
4、特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智他在九章算术“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（1里=500米），良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走半里良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇( )A. 14天B. 15天C. 16天D. 17天【答案】C【解析】【分析】记良马每天所走路程构成的数列为，驽马每天所走路程构成的数列为，根据题中数据，求出通项公式，进而可求出结果.【详解】记良马每天所走路程构成的数列
5、为，驽马每天所走路程构成的数列为，由题意可得：，设，经过天，两匹马相遇；则有，即，整理得，当满足题意，因此两匹马在第16天相遇.故选C【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.9.在等差数列中，则数列的前项和的最大值为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】由可得，再根据可得，从而可得前项和的最大值为详解】等差数列中，又，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值数列的前项和的最大值为故选A【点睛】求等差数列前n项和最大值的方法：（1）根据题意求出前项和的表达式，然后根据二次函数的知识求解；（2）根据题意求出等差数列中正负项的分
6、界点，根据正项和负项的位置进行判断，即在等差数列中，若，则前项和有最大值；若若，则前项和有最小值10.若不等式，对恒成立，则关于的不等式的解为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：不等式，对恒成立，那么：关于的不等式，等价于：，即：，解得：，故选A.考点：1.一元二次不等式；2.指数函数11.如果、满足且，那么下列选项中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据且可得出且，利用不等式的基本性质结合对取特殊值可判断各选项的正误.【详解】且，且.对于A选项，由不等式的性质可得，A选项正确；对于B选项，且，由不等式的性质可得，B选项正确；对于C选项
7、，若，则，C选项错误；对于D选项，且，则且，可得，D选项错误.故选：AB.【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查推理能力，属于基础题.12.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.【详解】由题意可得，则，由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、，因此，正整数的可能取值有、.故选：ACD.【点睛】本题考查两个等差数列前项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.13.若、，且，则下列不等式成立的是
8、（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式得出，三个不等式全加可判断出A、B、D的正误，取可判断C的正误.综合可得出结论.【详解】由基本不等式可得，上述三个不等式全部相加得，当且仅当时，等号成立，或，若，则，因此，A、C选项错误，B、D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查利用基本不等式判断不等式的正误，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14.设，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因
9、此，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于基础题.15.数列满足，写出数列的通项公式_【答案】【解析】因为,所以,两式相减得，即，又，所以，因此点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.16.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知是方程的根，求出的值，代入不等式，化简变形后解此不等式可得出结果.【详解】已知关于的不等式的解集为，则是方
10、程的根，则，解得，代入不等式得，即，解此不等式得或.因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查利用分式不等式的解集求参数，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.17.已知数列、，其中第一项是，接下来两项是、，再接下来的三项是、，依此类推，记此数列为，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将已知数列分组，使得每一组的第一项为，第组的最后一项为，计算出截止到第组最后一项的项数之和，确定所在组的序数以及所在组的项数，可归纳得出的值，并进一步求得的值.【详解】将已知数列分组，使得每一组的第一项为，即第一组：；第二组：、；第三组：、；第组：、.故所有项的项
11、数之和为，当时，故应位于第组第三项，所以.第组所有项之和为，因此，.故答案为：；.【点睛】本题主要考查归纳推理，将数据进行分组是解答的关键，同时也考查了分组求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6个小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知数列an的前n项和为Sn，且满足，.（1）求数列an的通项公式；（2）若等差数列bn的前n项和为Tn，且，求数列的前n项和Qn【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为3、公比为3的等比数列，即求解通项公式；（2）由（1）可得，得到，利用裂项法，即可求解【详解】
12、（1）当时，得，由，得，两式相减得，又，又，显然，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，；（2）设数列的公差为，则有，由得，解得，又，=【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.19.解关于的不等式【答案】当时；当时；当时；当时或; a=0时，不等式的解集为.【解析】【分析】根据题意，分3种情况讨论：，a=0时，不等式变形为：01，当a=1时，不等式为1，a0且a1时，不等式变形为（a1）x+2（
13、x2）0，分别求出不等式的解集，综合即可得答案【详解】根据题意，分3种情况讨论：，a=0时，不等式变形为：01，解集为，当a=1时，不等式为1，解可得x2，解集为（2，+）；，a0且a1时，不等式变形为（a1）x+2（x2）0，方程（a1）x+2（x2）=0有2个根，2和，当a1时，不等式的解集为（，）（2，+）；当0a1时，不等式的解集为（2，）；当a0时，不等式的解集为（，2）；综合可得：当a0时，不等式的解集为（，2）；a=0时，不等式的解集为，当0a1时，不等式的解集为（2，）；当a=1时，不等式的解集为（2，+）；当a1时，不等式的解集为（，）（2，+）【点睛】本题考查分式不等式的解
14、法，注意对a进行讨论，做到不重不漏一般分式不等式的解法步骤为：先将不等号的一边化为0，再分式化整式，转化为二次，结合二次函数的图像得到解集.20.已知关于的不等式（1）是否存在实数，使不等式对任意的恒成立？并说明理由（2）若对于不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）不存在实数，使不等式恒成立；（2）【解析】试题分析：（1）由原不等式等价于若对于任意恒成立，列出不是，即可得到结论；（2）设，当时，恒成立，列出不等式组，即可求解实数的取值范围试题解析：（1）原不等式等价于若对于任意恒成立，必须解得，所以不存在实数，使不等式恒成立（2）设，当时，恒成立，必须即的范围是考点：一元二次不等式的求解
15、及应用21.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量为（千辆/时）；（2）.【解析】【分析】（1）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的值，即可得解；（2）解不等式即可求得的取值范围，进而可得解.【详解】（1）依题意，当且仅当等号成立，最大车流量（千辆/时）；（2）由条件得，整理得，解得.
16、故汽车的平均速度应该在范围内.【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.22.已知函数，且数列满足.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件得出，由和可得出关于和的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得；（2）推导出，可知数列中的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列，以此求出数列的通项公式，然后分为奇数和偶数两种情况讨论，结合恒成立，利用参变量分离法可求得的取值范围.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意
17、得，故，则，解得，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）知，当时， 两式相减得，数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列又 ，当为偶数时，；当为奇数时，.因为对任意的都有成立，当为奇数时，恒成立，在为奇数时恒成立，即，；同理当为偶数时，恒成立，在为偶数时恒成立，.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用数列不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.23.定义为个正数、的“均倒数”.已知正项数列的前项的“均倒数”为.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对一切恒成立，试求实数的取值范围；（3
18、）令，问：是否存在正整数使得对一切恒成立，如存在，求出值，否则说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.【解析】【分析】（1）设数列的前项和为，由题意可得，利用可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得，并得出，由题意可得，解此不等式即可得出实数的取值范围；（3）解法一：利用定义判断数列的单调性，可求得数列的最大项，进而可求得的值；解法二：解不等式可求得正整数的值.【详解】（1）设数列的前项和为，由于数列的前项的“均倒数”为，所以，当时，；当时，.也满足，因此，对任意的，；（2），对一切恒成立，所以，解之得或，即取值范围是；（3）解法一：，由于，当时，此时，数列单调递增；当时，此时，数列单调递减.所以，当时，取得最大值，即存在正整数使得对一切恒成立；解法二：，假设存在正整数使得，则为数列中的最大项，由 得，解得，又，即存在正整数使得对一切恒成立【点睛】本题考查利用前项和求通项、裂项相消法求和，同时也考查了数列最大项的求解，涉及数列单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.