1、2.2.2直线的两点式方程学 习 任 务核 心 素 养1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围(重点、易混点)2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围(重点)3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题(难点)1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理素养.2.借助直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算素养.某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最
2、短在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？知识点1直线的两点式方程名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为01.不能用直线的两点式方程表示的直线有什么特点？提示平行于坐标轴或与坐标轴重合1.已知直线l过点A(3,1)，B(2,0)，则直线l的方程为_xy20过A(3,1)，B(2,0)两点的直线方程为，整理得xy20.知识点2直线的截距式方程(1)直线在x轴上的截距把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距(2)直线的截距式方程名称已知条件示意图方程使用范
3、围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b1a0，b02.一条直线的方程不能用两点式表示，同样也不能用截距式表示，反之，若一条直线的方程不能用截距式表示，是否也不能用两点式表示？提示当一条直线过原点且斜率存在时，不能用截距式表示，但可用两点式表示2.直线1在y轴上的截距是_b2直线的斜截式方程为1，因此直线在y轴上的截距是b2. 类型1直线的两点式方程【例1】(对接教材P63例题)(1)过点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是()ABCD2(2)ABC的三个顶点分别为A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，求这个三角形的三边及AB边上的中线所在直线的方程(1)A由直线的两点式方程得过点(
4、1,1)和(3,9)的直线方程为，即2xy30.令y0，得x，故选A(2)解直线AB过A(5,0)，B(3，3)两点，由两点式得，整理得3x8y150，这就是AB所在直线的方程直线AC过A(5,0)，C(0,2)两点，由两点式得，整理得2x5y100，这就是AC所在直线的方程直线BC过B(3，3)，C(0,2)两点，斜率k，由点斜式得y2(x0)，整理得5x3y60，这就是BC所在直线的方程因为A(5,0)，B(3，3)，所以AB的中点M的坐标为，即M，于是AB边上的中线所在直线的方程即为MC所在直线的方程由直线的两点式方程得，即，所以y2x，即7x2y40.利用两点式求直线方程的步骤(1)首
5、先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等(2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入公式求解提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系跟进训练1已知三角形的顶点是A(1,3)，B(2，1)，C(1，1)，求这个三角形三边所在直线的方程解直线AB过A(1,3)，B(2，1)，其两点式方程为，整理，得4x3y50，这就是边AB所在直线的方程直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y1. 类型2直线的截距式方程【例2】(1)一条光线从A处射到点B(0,1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为()Ay2x1By2x1CyxDyx(2)
6、求过点(4，3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程(1)B由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上再由点B(0,1)也在反射光线所在的直线上，由截距式可得反射光线所在的直线方程为1，整理得y2x1，故选B(2)解当直线l过原点时，直线l在两坐标轴上的截距相等且为0，此时直线l的斜率k，直线l的方程为yx，即3x4y0.当直线l在两坐标轴上的截距均不为0且相等时，设直线l的方程为1，由点(4，3)在直线l上得1，解得a1.此时直线l的方程为xy10.综上知，所求直线l的方程为3x4y0或xy10.利用截距式求直线方程的注意事项(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都
7、必须存在且都不为0.若a0，b0，则直线方程为x0；若a0，b0，则直线方程为y0；若a0，b0，则直线方程为ykx(k0)(2)截距相等且不为零，可设xya；截距相反且不为零，可设xya；截距相等且均为零，可设ykx.跟进训练2求经过点P(2,3)，且满足下列条件的直线方程：(1)在x轴，y轴上的截距之和等于6；(2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足b2a.解(1)设直线方程为1，因为直线过点P(2,3)，所以1，整理得a2a120，解得a3或4.于是所求直线方程为1或1.即3xy90或x2y40.(2)当a0时，设直线方程为1，将P(2,3)代入，得1，解得a，此时直线方程为1；即
8、2xy10.当a0时，直线过点(0,0)和(2,3)，所以直线的斜率为，此时直线的方程为yx.即3x2y0.综上可知，所求直线方程为2xy10或3x2y0. 类型3直线方程的灵活应用【例3】(1)两条直线1与1的图形可能是()ABCD(2)已知直线l过点P(2,1)当直线l与点B(5,4)，C(3,2)的距离相等时，求直线l的方程当直线l与x轴，y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程直线的截距式方程有明显的几何意义，由此思考如何解决与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题.(1)B两直线方程可分别化为1和1，由此可知两直线在x轴，y轴上的截距互为相反数，结合图形知选B(2)解()当直线lBC时
9、，klkBC.所以直线l的方程为y1(x2)，即x4y20.()当直线l过线段BC的中点时，由线段BC的中点为M(1,3)，所以直线l的方程为y1(x2)，即2xy50.综上可知，直线l的方程为x4y20或2xy50.设直线l的方程为1.则解得或所以直线l的方程为xy10或x4y20.求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程(2)已知直线的斜率，通常选用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程跟进训练3已知A(2,0)，P(1,3)，B(5,0)(1
10、)求过点B且与直线AP垂直的直线方程(2)经过点P的直线l把PAB的面积分割成34两部分，求直线l的方程解(1)A(2,0)，P(1,3)kAP1，过点B(5,0)且与直线AP垂直的直线方程为y(x5)，即xy50.(2)设直线l与x轴相交于点M(x,0)，经过点P的直线l把PAB的面积分割成34两部分，或.或，解得x1或x2.M(1,0)或M(2,0)，直线l的方程为x1或3xy60.1过两点(1,2)和(3,4)的直线的方程为()ABCDC由直线的两点式方程知，选C2已知直角坐标系xOy平面上的直线1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足()Aa0，b0Ba0，b0Ca0Da0，b0，b0
11、，故选A3在x轴，y轴上的截距分别是2，3的直线方程为()A1B1C1D1B直线的截距式方程为1，即1，故选B4已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1B1C2或1D2或1D由题意知a0，令x0，得ya2，令y0，得x1，由已知得a21，即a2a20，解得a1或a2，故选D5过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_2xy0或xy10当直线过原点时，得直线方程为2xy0.当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为1，将x1，y2代入方程可得a1，得直线方程为xy10.直线方程为2xy0或xy10.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)试写出直线的两点式方程提示.(2)试写出直线的截距式方程提示1.(3)如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题提示可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示