1、数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数
2、，建立函数关系求解.1.设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea1的大小关系为()A.ea1aae B.aeaea1C.aeea1a D.aea10，则f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae，从而ea1aae.2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g(x)，满足g(x)g(x)1的解集为_.答案(，0)解析函数g(x)的图象关于直线x2对称，g(0)g(4)1.设f(x)，则f(x).又g(x)g(x)0，f(x)f(0)，x2m4x恒成立，则x的取值范围是_.答案(，1)(2，)解析t，8，f(t).问题转化
3、为m(x2)(x2)20恒成立，当x2时，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，m.问题转化为g(m)在上恒大于0，则即解得x2或x1.4.若 x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是 _.答案6，2解析当2x0时，不等式转化为a.令f(x)(2x0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1,0)上单调递增，此时有af(x)minf(1)2.当x0时，不等式恒成立.当0x1时，a，则f(x)在(0,1上单调递增，此时有af(x)maxf(1)6.综上，实数a的取值范围是6，2.二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n项和是自变量为正整数的
4、函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5.已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，则其公差d等于()A. B.C. D.答案D解析设等差数列的首项为a1，公差为d，则即解得d.6.已知在数列an中，前n项和为Sn，且Snan，则的最大值为()A.3 B.1 C.3 D.1答案C解析当n2时，Snan，Sn1an1，两式作差可得ananan1，即1.由函数y1在(1，)上是减函数，可得在n2时取得最大值3.7.在等差数列an中，若a10, 设Snf(n)，则f(n)为二次函数
5、，又由f(7)f(17)知，f(n)的图象开口向上，关于直线n12对称，故Sn取最小值时n的值为12.8.设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S63，则nSn的最小值为_.答案9解析由解得a12，d1，所以Sn ，故nSn.令f(x)，则f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x， f(x)在上单调递减，在上单调递增.又n是正整数，故当n3时，nSn取得最小值9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化
6、为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016全国)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0，2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4，故选B.10.如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A
7、为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.答案B解析因为PAQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R，又3，则|OP|PQ|R.双曲线C的渐近线方程是yx，A(a,0)，所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos 60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以双曲线C的离心率为e.11.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与A
8、B相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若6，则k的值为_.答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1 .由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2 .由点D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.12.已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k_.答案或解析点F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，
9、B(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，当k0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k0.将yk(x1)代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，依题意知，x1，x2是的不相等的两个实根，则由以AB为直径的圆过F，得AFBF，即kAFkBF1，所以1，即x1x2y1y2(x1x2)10，所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把x1x2，x1x21代入得2k210，解得k，经检验k适合式.综上所述，k.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数
10、，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1.(2018咸阳模拟)函数f(x)2x的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析在同一平面直角坐标系下，作出函数y12x和y2的图象，如图所示.函数f(x)2x的零点个数等价于2x的根的个数，等价于函数y12x和y2图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.2.若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_.答案解析x0是方程的一个实数解；当x0时，方程kx2可化为(x4)|x|，x4，k0，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，则两函数图
11、象有三个非零交点.f(x)(x4)|x|的大致图象如图所示，由图可得0.所以k的取值范围为.3.设函数f(x)cos x，则方程f(x)所有实根的和为_.答案解析由f(x)cos x，得cos x，令y1，y2cos x.在同一坐标系内作出两函数图象(图略)，可知两图象只有一个交点.方程f(x)的实根之和为.4.已知函数f(x)若方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_.答案解析方程f(x)mx恰有四个不相等的实数根可化为函数f(x)与函数ymx的图象有四个不同的交点，如图所示.由题意知，C，B(1,0)，故kBC.当x1时，f(x)ln x，f(x)，设切点A的坐标为(
12、x1，ln x1)，则，解得x1，故kAC.结合图象可得，实数m的取值范围是.二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B.(0，)C.(1,0) D.(，0)答案D解析方法一当即x1时，f(x1)f(2x)即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1.当时，不等式组无解.当即1x0时，f(x1)f(2x)即122x，解得x0.因此不等式的解集为(1,0).当即x0时，f
13、(x1)1，f(2x)1，不合题意.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0).故选D.方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示.由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)f(2x)转化为x12x.此时x1.当2x0且x10时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x).此时1x0.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，1(1,0)(，0).故选D.6.设A，B在圆x2y21上运动，且|AB|，点P在直线l：3x4y120上运动，则|的最小值为()A.3 B.4C. D.答案D解析设AB的中点为D，由平行四边形法则可知2，所以当且仅当O，D，P三点共
14、线时，|取得最小值，此时OP垂直于直线3x4y120，OPAB，因为圆心到直线的距离为，|OD|，所以|的最小值为2.7.若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的简图，如图所示.依题意得故a.8.已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围为_.答案0，)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当x1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为xa；当x1时，如图(1)所示，符合题意；当0a1时，如图(2)所示，符合题意；当a0).若圆C上存在点P，使得 APB90，则 m的最大值为()
15、A.7 B.6 C.5 D.4答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，可知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.10.设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.答案D解析如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则O
16、QPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得4a216a220a24c2，即e.11.已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_.答案解析因为(2)21，设af(2)1，bef(3)1，则a，b的大小关系为()A.ab C.ab D.无法确定答案A解析令g(x)exf(x)ex，则g(x)exf(x)f(x)10，即g(x)在R上为增函数.所以g(3)g(2)，即e3f(3)e3e
17、2f(2)e2，整理得ef(3)1f(2)1，即ab.2.(2018宣城调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是减函数，则有()A.fffB.fffC.fffD.fff答案C解析因为f(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又T4，作图，由图知ff0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，|3，则该双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析如图，因为2，所以A为线段FB的中点，所以23，又13，所以31180，所以160，所以，又|3，所以b3，a，所以该双曲线的标准方程为1，故
18、选A.4.过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作直线yx的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若2，则该双曲线的离心率为()A. B.2 C. D.答案C解析设F(c,0)，则直线AB的方程为y(xc)，代入双曲线渐近线方程yx，得A. 由2，可得B，把B点坐标代入1，得1，c25a2，离心率e.5.如果实数x，y满足(x2)2y23，则的最大值为()A. B. C. D.答案D解析方程(x2)2y23的几何意义为平面直角坐标系内的圆，圆心为M(2,0)，半径为r(如图)，而则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0，0)的连线的斜率.所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以为半径的
19、圆上移动，求直线OA的斜率的最大值.由图可知当OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM2，AM，OAAM，则OA1，tanAOM，故的最大值为，故选D.6.已知函数f(x)|lg(x1)|，若1ab且f(a)f(b)，则a2b的取值范围为()A.(32，) B.32，)C.(6，) D.6，)答案C解析由图象可知b2,1a2，lg(a1)lg(b1)，则a，则a2b2b2(b1)3，由对勾函数的性质知，当b时，f(b)2(b1)3单调递增，b2，a2b2b6.7.(2018东莞模拟)已知函数f(x)若不等式f(x)mx恒成立，则实数m的取值范围为()A.32，32B.
20、32，0C.32，0D.(，3232，)答案C解析函数f(x)及ymx的图象如图所示，由图象可知，当m0时，不等式f(x)mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)x23x2(x0时能成立，令g(x)ex(x23x3)，则ag(x)min，而g(x)ex(x2x)，由g(x)0，可得x(，0)(1，)，由g(x)0，可得x(0,1).据此可知，函数g(x)在区间(0，)上的最小值为g(1)e，ae.综上可得，实数a的最小值为e.9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为_.答案2解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积Va2h，故a2h32，即a2.则其侧
21、棱长为l.令f(h)h2，则f(h)2h，令f(h)0，解得h2.当h(0,2)时，f(h)0，f(h)单调递增，所以当h2时，f(h)取得最小值f(2)2212，故lmin2.10.若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.答案 (0,2)解析由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，从而可得函数y1|2x2|的图象与函数y2b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0b0在(2，)上恰成立，则实数a的取值集合为_.答案1,3解析关于x的不等式x1a22a0在(2，)上恰成立函数f(x)x在(2，)上的值域为(a22a1，).由f(x)x，x(2，)，可得f(x)10，所以f(x)x在(2，)上为增函数，所以f(x)f(2)4.又关于x的不等式xa22a1在(2，)上恰成立，所以a22a14，解得a1或a3.
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