1、规范答题示例9导数与不等式的恒成立问题典例9(12分)(2017全国)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0).2分若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增.4分若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)证明由(1)知，当a0).当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f(x)2.12分第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f(x).第二步定区间：根据f(x)的符号确定函数的单调性.第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最
2、值问题.第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立问题.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.评分细则第(1)问得分点说明：正确求出f(x)得2分；求出a0时，函数的单调性得2分；求出a0时，函数的单调性得2分第(2)问得分点说明：正确求出f(x)的最大值得2分；转化为关于a的不等式得1分；构造函数并正确求出函数的最大值得2分；正确写出结论得1分跟踪演练9(2018全国)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设0x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.
