1、第2课时 直线的两点式方程目 标 要 求1.掌握直线方程的两点式；2掌握直线方程的截距式；3进一步巩固截距的概念.热 点 提 示1.求两点式方程是本节的热点；2截距式方程通常与三角形的面积结合命题；3常以选择题或填空题的形式考查.20世纪90年代以来，在邓小平同志南巡讲话精神的鼓舞下，徐家汇区抓住难得的历史机遇，以土地批租为主要形式，以徐家汇商圈为开发重点，使区域经济发展步入了快车道经过10年的不懈努力，徐家汇已经成为上海市的商业中心和重要的公共活动中心，成为体现上海市繁荣的标志性区域之一徐家汇汇集了众多著名商厦，构成了徐家汇商圈，使人感受到现代商业的风采区商业中心O有通往东、西、南、北的四条
2、大街某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如上图，公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km，现在要经过公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处距离之和最短，请确定A、B的最佳位置1经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(且 x1x2，y1y2)的 直 线 方 程 为 yy1y2y1 xx1x2x1，我 们 把 它 叫 做 直 线的，简称两点式(twopoint form)两点式方程2经过两点 A(a,0)，B(0，b)(其中 a0，b0)的直线的方程为xayb1，我们把它叫做直线的，其中把直线与 x 轴交点(a,0)的横坐标
3、 a 叫做直线在 x 轴上的截距，b 叫做直线在 y 轴上的截距截距式3若点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且线段 P1P2 的中点M 的坐标为(x，y)，则 xx1x22，yy1y22.此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式1一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A可以写成两点式或截距式B可以写成两点式或斜截式或点斜式C可以写成点斜式或截距式D可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案：B2过两点(6,2)，(3,2)的直线方程是()Ax5 By2Cxy2Dx2答案：B3在x、y轴上的截距分别是3、4的直线方程是()A.x3y41 B.x3 y41C.x3y41 D.x4 y
4、31答案：A4直线 xa2 yb21 在 y 轴上的截距是()A|b|Bb2Cb2Db答案：B解：直线 AB 过点 A(5,0)，B(3，3)，由两点式得 y030 x(5)3(5).化简整理得 3x8y150，这就是直线 AB 的方程同理可得直线 BC 的方程为 5x3y60，直线 AC 的方程为 2x5y100.5三角形的顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，求这个三角形三边所在直线的方程类型一 利用两点式求直线方程【例1】已知三角形的三个顶点分别为A(6，7)，B(2,3)，C(2,1)，求AC边上的中线所在的直线方程思路分析：求AC边上的中线所在的直线方程，只需求出中线上的两点
5、即可，点B已知，需求AC的中点坐标解：设 AC 的中点为 M(x，y)，则 x622 4，y7123，即 M(4，3)由于直线 BM 过 B(2,3)，M(4，3)两点，直线方程的两点式为 y333x(2)4(2)，化简，得 xy10.AC 边上的中线所在的直线方程为 xy10.温馨提示：本题要用到中点坐标公式：已知 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 PQ 的中点坐标为(x1x22，y1y22)过两点(1,1)和(3,9)的直线l在x轴上的截距等于_，在y轴上的截距等于_解析：直线 l 的两点式方程是x131y191，当 x0 时，y3；当 y0 时，x32.即直线 l 在 x 轴上的截
6、距等于32，在 y 轴上的截距等于3.类型二 利用截距式求直线方程【例2】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程思路分析：由题目可获取以下主要信息：直线l与x轴、y轴都相交；两交点连线段的中点坐标已知解答本题可由中点坐标公式求出A、B点的坐标，再用截距式求直线l的方程解：由题意可设 A(x,0)，B(0，y)，由中点坐标公式可得x02 40y2 1，解得x8y2，A(8,0)，B(0,2)，由直线方程的截距式得 l 方程为x8y21，即 x4y80.温馨提示：(1)由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距，反之，若已知直线在x轴、y轴上的截
7、距(都不为0)也可直接由截距式写出方程(2)由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线过原点的直线可以表示为ykx；与x轴垂直的直线可以表示为xx0；与y轴垂直的直线可以表示为yy0.(3)直线与两坐标轴都相交时，直线与两坐标轴围成直角三角形，围绕三角形的面积出题能考查截距与“距离”的关系一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程解：设所求直线方程为xayb1.点 A(2,2)在直线上，故有2a2b1.又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，12|a|b|
8、1.解得a2b1 或a1b2，故所求直线方程为x2y1 或xy21.类型三 与截距有关的问题【例3】已知直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程思路分析：由截距相等可考虑选择截距式方程，但要注意ab0时的情形解：设直线 l 在两轴上的截距均为 a.(1)若 a0 时，直线过原点，得方程为 2x3y0；(2)若 a0 时，l 的方程为xaya1，把(3，2)代入得 a1，l 的方程为 xy10.故直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy10.温馨提示：涉及截距的问题均可考虑截距式方程，但应注意截距式方程的适用范围，以免漏解 直线l过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为
9、12，求直线l的方程解：设直线 l 的方程为xayb1，则 ab12.又直线 l 过点(3,4)，3a 4b1.由解得a9，b3，或a4，b16.故所求的直线方程为x9y31 或 x4 y161，即 x3y90 或 4xy160.类型四 直线方程的应用【例 4】已知ABC 的顶点是 A(1，1)，B(3,1)，C(1,6)直线 l 平行于 AB，且分别交 AC，BC 于 E，F，且CEF的面积是ABC 的面积的14.(1)求点 E，F 的坐标(2)求直线 l 的方程思路分析：根据直线的几何位置关系及面积的比值确定出点E，F的位置，然后利用中点坐标公式求点E，F的坐标，利用两点式求直线l的方程解
10、：(1)设点 E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为直线 EFAB，并且CEF 的面积是CAB 的面积的14，所以 E，F 分别为AC，BC 的中点，由中点坐标公式可得：x11120，y116252，x2312 2，y2162 72，所以 E(0，52)，F(2，72)(2)因为点 E(0，52)，F(2，72)，由两点式方程，可得直线l 的方程为y527252x020，即 x2y50.温馨提示：利用数形结合的思想，通过几何图形判断点所在的位置，以数研究形，以形研究数，是解析几何常用的数学思想方法过点P(3,0)作直线l，使它被两条相交直线2xy20和xy30所截得的线段AB恰好被P点平分，
11、求直线l的方程解：设直线 l 与直线 2xy20 交于点 A(x1，y1)点 P(3,0)是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得 B 点的坐标为(6x1，y1)，2x1y120，(6x1)(y1)30，解得x1113，y1163.由两点式直线方程得直线 l 的方程为y1630163x1133113，即8xy240.1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求它的方程，即两点式不能表示与两坐标轴垂直的直线但把两点式化为整式形式(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)，就可以利用它求平面内过任意两点的直线的方程2直线的截距式方程是两点式方程的一种特殊情形，截距式只能表示
12、两截距都不为0的情况，直线过原点或与坐标轴垂直时，没有截距式方程，当然，截距相等还包括两截距同时为0的情况3用直线的截距式来画直线、判断直线经过的象限或求直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较为方便4利用待定系数法求直线方程是最常用、最基本的方法，一定要注意直线方程形式的选择，选择恰当的方程形式能使运算简便，选择直线方程的形式时，首先要看所求的直线上已知什么元素，利用已知设方程如已知中告诉了直线上的一点，可设两点式或点斜式形式，若告诉的是y轴上的截距，则可设截距式或斜截式，若告诉的是直线的斜率，则可设点斜式或斜截式等，同时还要考虑这种设法所遇到的运算量的大小和难易程度，也就是说要先进行估算，如遇到直线与坐标轴围成的面积、周长问题，设截距式比较好，因为若用其他形式，则需要先算截距，增加了运算量