1、（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1. 设复数满足,则_。2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。B1A1C1ACB第4题3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形，则这个圆锥的体积是 。4. 如图,在正三棱柱中,异面直线与所成角的大小为,该三棱柱的体积为 。5. 的展开式中的常数项是 60 。6. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 512 种。7. 将三个1、三个2、三个3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有 12 种。8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，
2、若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_24_种。9. 从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则 8 。10. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为 。BACD第12题11. 设复数，在复平面上所对应点在 直线上，则= 。12. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点， 则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。13. 在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，. 已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为 。【解】建立直角坐标系，以为
3、坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，从而有 。14. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 解 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心因 ，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2记正四面体的棱长为，过作于 因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（
4、如答12图2中阴影部分） 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. 已知为异面直线,平面,平面.平面与外的直线满足,则（D）第16题A,且B,且C与相交,且交线垂直于D与相交,且交线平行于16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （A）ABCD17. 三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为 （ B ） A B C D18. 除以100的余数是(
5、C) A1 B79C21D81 解：=4即除以100的余数为21。三、解答题(本大题共5题，满分74分12+14+14+16+18=74)19. 如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。（1）求证：OBAC；（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。解：（1）连结OB，由圆的切线性质有OBBC，而BC是AC在底面O上的射影，OB平面ABC，OBAC。（2）在RtOA B中，AB又ACB就是AC与底面O所成角，,20. 如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。（1）求证：直线AB1平
6、面C1DB；A1C1CBAB1D（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。 证明：（1）连BC交于E，连DE, 则DE，而DE面CDB，面CDB， （2）由（1）知DEB为异面直线所成的角，在 。 21. 已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下列问题：（1） 在复数范围内分解因式：；（2） 求所有满足整除的正整数n构成的集合A。解：（1）令解得两个根，这里所以（2）记。有两个根，这里，22. 设（是正整数），利用赋值法解决下列问题： （1）求； （2）为偶数时，求； （3）是3的倍数时，求。解：令，（1） ，所以（2） ，所以（3） 记，则。当时，当时，记， 则从上到
7、下各式分别乘以，求得。即23. 宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r0）的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60，东经30；B点落在东经30的赤道上；C点落在北纬60，东经90。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。（1）求AC两点间的球面距离；（2）求P点的经度；（3）求AP两点间的球面距离。解：设球心为O，北纬60圈所对应的圆心为O，（1）那么OO=。OA=OC=。又因为AOC=60。所以AC=。那么AOC=（）两点间的球面距离为（）（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。可知POB=AOB=60，又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90或西经30。（3） 显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90。由条件可知OA平行OB且等于OB的一半，延长BA与OO交于D点，那么。而OC平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且。可知ACBP，所以A、B、C、P共面。6