1、1.3可线性化的回归分析1.下列数据x,y符合哪一种函数模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A.y=2+xB.y=2exC.y=2D.y=2+ln x解析:画出散点图,并代入数检验.答案:D2.为研究广告费用x与销售额y之间的关系,有人抽取了5家餐厅,得到的数据如下表:广告费用x/千元1.04.06.010.014.0销售额y/千元19.044.040.052.053.0在同一坐标系中画散点图,直线l:y=24+2.5x,曲线C:y=,如图所示.更能表现这组数据之间的关系的是()A.直线lB.曲线CC.直线l和曲线C都一样D.无法确定解析:代
2、入各组数检验.答案:B3.若x,y满足x0.10.20.30.512345y2096420.940.650.510.45则x,y满足的函数模型为.解析:画出散点图,图形形如y=的图象.经检验b2.答案:y=4.将形如y=axb+c(b0)的函数转化成线性函数的方法:令,则得到方程,其函数图像是一条直线.答案:t=xby=at+c5.若一函数模型为y=ax2+bx+c(a0),则作变换t=才能转化为y是t的线性回归方程.解析:y=ax2+bx+c=a,令t=,则y=at+,此时,y为t的线性回归方程.答案:6.某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份x(月)之间满足函数关系,模型为y=ae
3、bx,请确定这个函数解析式.月份x/月123456人数y/人526168747883解:设u=lny,c=ln a,得u=c+bx,则u与x的数据关系如下表:x123456u=ln y3.954.114.224.3044.35674.4188由此可得:xi=21,ui=25.3595,=91,=107.334,xiui=90.3413,=3.5,4.22658,b=0.09,c=-b4.22658-0.093.5=3.91158,u=0.09x+3.91158.y=e3.91158e0.09x.7.在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含碳量不断下降,现测得含碳量y(%)与熔化时间
4、t(h)的关系,如下表:时间t/h5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0含碳量y/%9.737.466.044.352.742.061.480.980.570.410.25求回归方程.解:由散点图可知t,y之间满足函数关系y=aebt,设u=lny,c=ln a,则u=c+bt.列表如下:时间t5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0u=ln y2.2752.0101.7981.4701.0080.7230.392-0.020-0.562-0.892-1.386由此可得:=400.4,=19.35,uiti=32.7782,=6,=0.61
5、96,r=-0.995.u与t之间有较强的线性相关关系.进而可以求得b=-1.844,c=-b11.684.u=-1.844t+11.684.y=e-1.844t+11.684.备选例题在一化学反应过程中,某化学物质的反应速率y (g/min)与一种催化剂的量x (g)有关,现收集了8组数据列于表中,试建立y与x之间的回归方程.催化剂量x/ g1518212427303336化学物质反应速率y /(g/min)6830277020565350解:根据收集的数据作散点图如图所示.根据样本点分布情况,可选用两种曲线模型来拟合.(1)可认为样本点集中在某二次曲线y=c1x2+c2的附近.令t=x2,
6、则变换后样本点应该分布在直线y=bt+a(b=c1,a=c2)的周围.由题意得变换后t与y的样本数据表如下:t22532444157672990010891296y6830277020565350作y与t的散点图,如图所示.由y与t的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程y=bt+a来拟合,即不宜用二次曲线y=c1x2+c2来拟合y与x之间的关系.(2)根据x与y的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线y=c1的周围.令z=ln y,则z=c2x+ln c1,即变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围.由y与x数据表可得z与x的数据表如下:x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z与x的散点图,如图所示.由散点图可观察到样本点大致在一条直线上,所以可用线性回归方程来拟合它.由z与x数据表,得到线性回归方程,z=0.1812x-0.8485,所以非线性回归方程为y=e0.1812x-0.8485,因此,该化学物质反应速率对催化剂的量的非线性回归方程为y=e0.1812x-0.8485