1、第1课时 直线的点斜式方程目 标 要 求1.掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素2掌握直线方程的点斜式和斜截式3了解斜截式与一次函数的关系.热 点 提 示1.求直线的点斜式方程是本节热点2本部分内容常与方程等结合命题3多以选择、填空的形式考查，有时也会渗透到解答题中.如右图，飞逝的流星形成一条美丽的弧线，这条弧线可近似看做是什么图形呢？若在平面直角坐标系中，能否确定出它的位置呢？如何确定呢？平面几何中两点确定唯一的一条直线，在平面直角坐标系内若确定一条直线，应知道哪些条件？1直线的点斜式方程(1)方程：过定点P(x0，y0)，斜率为k的直线方程的点斜式为(2)说明：过定点P(x0，y0)，倾斜
2、角是90的直线方程没有点斜式，其方程为.yy0k(xx0)xx02直线的斜截式方程(1)方程：斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)的直线方程的斜截式为.(2)说明：一条直线与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的倾斜角是的直线方程没有斜截式ykxb截距901直线 y4 3(x3)的倾斜角和所过的定点分别是()A60，(3,4)B120，(3,4)C150，(3，4)D120，(3，4)答案：B2已知直线 l 的方程为 9x4y36，则 l 在 y 轴上的截距为()A9 B9C4 D49答案：B3已知两条直线l1：yax2和l2：y(a2)x1互相垂直，则a等于()A2B1C0D1答案：
3、D4经过点(4,3)且与直线 y32x 平行的直线的点斜式方程是_答案：y332(x4)5已知直线 l 与直线 l1：y12x4 垂直，且 l 与直线 l2：yx6 在 y 轴上有相同的截距，求直线 l 的方程解：ll1，l的斜率为2，l与l2在y轴上有相同截距，l的纵截距为6，所以直线l的方程为y2x6.类型一 直线的点斜式方程【例 1】已知直线 l 过点(1,0)，且与直线 y 3(x1)的夹角为 30，求直线 l 的方程解：直线 y 3(x1)的斜率为 3，其倾斜角为 60，且过点(1,0)又直线 l 与直线 y 3(x1)的夹角为 30，且过点(1,0)，由右图可知，直线 l 的倾斜角
4、为 30或 90.故直线 l 的方程为 x1 或 y 33(x1)温馨提示：(1)由于直线l过点(1,0)，因此求直线l的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了(或者能够求出)直线上一点的坐标和直线的斜率(2)利用点斜式求直线方程的步骤是：判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；在直线上找一点，并求出其坐标(3)要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程yy0k(xx0)可知该直线过定点P(x0，y0)且斜率为k.,1 已知直线 l 过点 A(2,1)且与直线 y14x3 垂直，求直线 l 的方程解：方程 y14x3 可化为 y14(x34)，由点
5、斜式方程知其斜率 k4，又l 与直线 y14x3 垂直，直线 l 的斜率为14，又由 l 过点 A(2,1)直线 l 的方程为 y114(x2)，即 x4y60.,类型二 直线的斜截式方程【例 2】求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线 l 的方程思路分析：已知直线的斜率为34，可选直线的斜截式方程 y34xb，然后根据条件“与坐标轴所围成的三角形的周长是 12”确定 b 的值解：由已知直线的斜率为34，可设直线 l 的方程为：y34xb.令 x0，得 yb；令 y0，得 x43b.由题意得：|b|43b|b2(43b)212.|b|43|b|53|b|12，b3.所求直
6、线方程为 y34x3.温馨提示：截距不是距离，而是一个实数，截距可以为正数、负数、零 写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，并指出当m为何值时，直线过点(1,1)?解：由直线方程斜截式，得直线方程为y2xm.直线过点(1,1)，将x1，y1代入方程y2xm得121m，m1即为所求,类型三 利用平行、垂直的关系求直线方程【例3】(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l3：y(2a1)x3与直线l4：y4x3垂直？解：(1)设直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则 k11，k2a22.l1l2，a2212a2，解得 a1.当 a
7、1 时，直线 l1l2.(2)设直线 l3，l4 的斜率分别为 k3，k4.则 k32a1，k44，l3l4，(2a1)41，解得 a38.当 a38时，l3l4.温馨提示：判断两条直线l1、l2的位置关系时，先看两条直线的斜率是否存在(1)若两条直线的斜率均不存在，且x1x2，则有l1l2.(2)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则有l1l2.(3)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在但不为0，则两条直线既不平行也不垂直(4)若两条直线的斜率均存在，则有：l1l2k1k2且b1b2；l1l2k1k21.此时注意平行的条件中不能漏掉b1b2这一条件,(1)求经过点(1,1)
8、，且与直线y2x7平行的直线方程；(2)求经过点(1,1)，且与直线y2x7垂直的直线方程解：(1)由 y2x7 得 k12，由两直线平行知 k1k22.所求直线的方程为 y12(x1)，即 2xy10.(2)由 y2x7 得 k12，由两直线垂直知 k1k21，k212.所求直线的方程为 y112(x1)，即 x2y30.,类型四 直线方程的应用【例4】是否存在过点(5，4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.思路分析：利用待定系数法设出直线的点斜式方程，分别求出直线与x，y轴交点的坐标，列出面积的表达式，求解出k的取值解：假设存在过点(5，4)的直线 l，使它与两坐标轴相交且与
9、两坐标轴围成面积为 5 的三角形设直线方程为 y4k(x5)，则分别令 y0，x0，可得直线 l 与 x 轴的交点为(5k4k，0)，与 y 轴的交点为(0,5k4)因为直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积为 5，所以12|5k4k|5k4|5，所以5k4k(5k4)10，即 25k230k160(无解)或 25k250k160，所以 k85或 k25，所以所求直线方程为 y485(x5)或 y425(x5)温馨提示：待定系数法是解析几何中常用的数学思想方法使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据所给条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定
10、系数，从而使问题得到解决解：显然，l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 y3k(x2)，令 x0，得 y2k3；令 y0，得 x3k2，由题意得12|(2k3)(3k2)|4，解得 k112，k292，4 直线l过定点A(2,3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l的方程故所求直线方程为 y312(x2)，或 y392(x2)，即 x2y40 或 9x2y120.1kyy0 xx0，与 yy0k(xx0)的区别是前者不包括点(x0，y0)，而后者包括点(x0，y0)，即后者的轨迹上比前者的轨迹上多了一个点运用点斜式方程解决问题，清楚用点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：(1)一个
11、定点；(2)有斜率2经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在的直线，方程为yy0k(xx0)；斜率不存在的直线，方程为xx0.3注意截距与距离是两个不同的概念，距离必须大于等于零，而截距b是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数，即可为正数、零、负数4斜截式方程，是点斜式方程的一种特殊情形，斜截式方程ykxb的特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距5如果在求直线方程中，设出的方程形式是点斜式或斜截式方程时，这就在无意中承认了直线的斜率是存在的，因此就漏掉了斜率不存在的情况，所以在设方程形式前应对直线分斜率存在和斜率不存在讨论6两直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则两条直线平行的充要条件为：l1l2k1k2且b1b2；两条直线垂直的充要条件为：l1l2k1k21，特别提醒的是在判断两条直线平行时一定要验证b1b2.
