1、3.1.2空间向量的 数乘运算 杨泽兵 上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.平面向量 空间向量 加法 减法 运算 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 运 算 律 加法交换律 abba 加法结合律:()()abcabc abba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律()()abcabc注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。ababbb 我们知道平面向量还有数乘运算.类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算
2、,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?数乘空间向量的运算法则例如:a3 a2a与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积a仍然是一个向量.当0 时,a与向量a 的方向相同;当0 时,a与向量a 的方向相反;当0 时,a是零向量.一、显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()ababaaaaa 即：（）FEDCBA891231P（）、（）、（）练习 思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)111(1)(2)1(3)()31(4)2ABBCABADAAABADAAABADCC(1);ABBCAC解：1111(2)ABADA
3、AACAAACCCACABCDA1B1C1D1GM111(3)()33ABADAAACAG1(4).ABADCCAM1+2acb定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)思考:对空间任意两个向量 a 与 b,如果 ab,那么a 与b 有什么关系?反过来呢?类似于平面,对于空间任意两个向量a,b(0b),a/b R,ab.二、共线向量及其定理 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a 平行于b 记作/ab 规定:o 与任一向量a 是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0）
4、，a/b 的充要条件是存在实数，使ab.二、共线向量及其定理思考:如图,l 为经过已知点 A 且平行非零向量a 的直线,如何表示直线l 上的任一点 P?lAPa注:非零向量a 叫做 直线l 的方向向量.B/APa,存在唯一实数 tR,使 APta.点 P 在直线 l 上 唯一实数,tR使 APta 对于任意一点 O,有 APOPOA 则点 P 在直线 l 上 唯一实数,tR使OPOAta 点 B 在直线 l 上,且 ABa 则点 P 在直线l 上 唯一实数,tR使OPOAtAB 注:、式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O即，P,A,B三点共线。或表示为
5、：(1).OPt OAtOB三、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量 a b、不共线,则向量 p 与向量 a b、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y 使 pxayb.AabBCPp AP ab与、共面,唯一有序实数对(,),x y 使 APxayb.点 P 在平面 上 唯一有序实数对(,),x y 使 APxayb思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线的非零向量 a b、的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P呢?OAabBCPp已知点
6、 B C、在平面 内且 ABa,ACb 点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(,),x y 使 APxAByAC 已知点 B C、在平面 内且 ABa,ACb,对于空间任意一点O 点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(,),x y 使OPOAxAByAC 注:、式都称为平面的向量表示式,即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.求证:E,F,G,H四点共面k，ODOHOCOGOBOFOAOE使E，F，G，H，并且线上分别取点OC，OD，在四条射O作射线OA，OB，面AC外一点四边形ABCD，过平例1、如图，已知平行OBCDEFGH分析:共面来证明。AC，AB，AD下面我们利用共面。EG，EF，EH只需证明点共面，欲证E，F，G，H四空间向量的数乘运算由于四边形ABCD是平行四边形,证明:k，ODOHOCOGOBOFOAOEOD。kOH，OCkOE，OBkOF，OAkOE因为所以所以.ADABACOBCDEFGH空间向量的数乘运算 因此OEOGEGACkOAkOCk由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面.OBCDEFGH)ADABk()OAODOAOBk(OEOHOEOFEHEF空间向量的数乘运算ABCDA1B1C1D1GOABCEF