1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。4.2二次函数的性质 1二次函数的图像和性质【说明】(1)参数a决定开口方向(2)对称轴为单调区间的分界线(1)二次函数f(x)ax2bxc图像的对称轴是什么？提示：二次函数f(x)ax2bxc图像的对称轴是直线x.(2)二次函数f(x)x22xc中，f(2x)f(x)是否恒等？提示：因为二次函数f(x)x22xc图像的对称轴为直线x1，设P(x，f(x)是抛物线上任意一点，则P关于对称轴的对称点为P(2x，f(2x)，所以f(x)f(2x)，即f(x)f(2x).2二次
2、函数的最值(1)二次函数开口向上时，在定义域R上有最小值，无最大值；开口向下时，在定义域R上有最大值，无最小值(2)二次函数在区间上的最值取决于开口方向和对称轴与区间的关系1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二次函数yax2bxc(a0)一定有最小值()提示：二次项系数的正负不确定，故不正确(2)二次函数yx22x2的对称轴为x1.( )提示：二次函数yx22x2的对称轴为x1.(3)二次函数yx24x3在区间2，)上是增加的()提示：二次函数yx24x3在区间2，)上是减少的.2已知函数f(x)ax2bx5满足条件f(1)f(3)，则f(2)()A8B6C5 D与a，b的值有关【解析】
3、选C.由f(1)f(3)，得其图像关于直线x1对称，所以f(2)f(0)5.3(教材习题改编)抛物线y2x2x1的顶点坐标是_【解析】因为y2x2x1，即y22，所以顶点坐标为.答案：类型一二次函数图像的对称性(数学运算、直观想象)1.如果函数f(x)x2bx1对任意实数x都有f(2x)f(2x)，则f(1)，f(2)的值分别为_【解析】由题意知，函数f(x)图像关于直线x2对称，所以b4，所以f(1)1412，f(2)4813.答案：2，32已知一元二次函数yx22x3.(1)求出此函数图象与坐标轴的交点坐标；(2)指出此函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)根据(1)(2)画出此函数图象的草图
4、【解析】(1)由x22x30得0，解得x3或x1，当x0时，y022033，所以此函数图象与x轴的交点坐标为(3，0)，(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)；(2)配方，得yx22x324，所以此函数图象的顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x1；(3)根据(1)(2)画出此函数图象的草图如图：二次函数yf(x)图像的对称轴的判断方法(1)若二次函数yf(x)对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图像的对称轴方程为x.(2)若二次函数yf(x)对定义域内所有x都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)的图像的对称轴方程为xa(a为常数).(3)若二次
5、函数yf(x)对定义域内所有x都有f(x2a)f(x)，那么函数yf(x)图像的对称轴方程为xa(a为常数).(4)利用配方法求二次函数yax2bxc(a0)的对称轴方程为x.(5)利用方程的根求对称轴方程：若二次函数yf(x)对应方程f(x)0的两根为x1，x2，那么函数yf(x)的图像的对称轴方程为x.提醒：(2)、(3)中f(ax)f(ax)与f(x2a)f(x)是等价的【补偿训练】已知二次函数f(x)x22mx1，求函数f(x)在0，4上的最小值【解析】因为f(x)x22mx1(xm)21m2，所以f(x)的图像开口向上，对称轴是xm.当m4时，f(x)在0，4上是减少的，f(x)mi
6、nf(4)178m；当0m4时，f(x)在0，m上是减少的，在m，4上是增加的，f(x)minf(m)1m2；当m0时，f(x)在0，4上是增加的，f(x)minf(0)1，所以综上可得f(x)min类型二二次函数的单调性与参数范围(逻辑推理)【典例】若函数f(x)x22mx1在区间上是单调的，求实数m的取值范围四步内容理解题意 通过函数解析式可以求出对称轴； 包含单调递增与单调递减两种思路探求先根据函数解析式求出函数f(x)的对称轴，然后分单调递增和单调递减进行分类讨论书写表达函数f(x)x22mx1，整理得f(x)(xm)21m2，故其对称轴为xm.由题意可知f(x)在上单调，所以函数f(
7、x)在区间上单调递增或单调递减(1)单调递增时，m1，即m1；(2)单调递减时，m2，即m2.故实数m的取值范围为(，21，).题后反思本题进一步思考可知，要保证函数f(x)在区间上单调，只要满足对称轴不在区间的内部即可，即m1或m2，解得m1或m2.此法更为简单已知二次函数在给定区间单调性求参数取值范围问题二次函数在给定区间上的单调性取决于对称轴与区间的关系，当对称轴在区间内部时，在该区间不单调；当对称轴不在区间内部时，在该区间单调在区间(2，)上，函数yx2mx5的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围为()A4，) B2，)C(，4 D(，2【解析】选C.函数f(x)x2mx5的对称轴
8、为x，因为在区间(2，)上，函数yx2mx5的函数值y随x的增大而增大，所以2，解得m4.【拓展延伸】二次函数中的恒成立问题和与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的等价条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的等价条件是(3)af(x)恒成立等价于af(x)max.(4)af(x)恒成立等价于af(x)min.【拓展训练】已知函数f(x)x2mx1，若对于任意x，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_【解析】因为对任意x，都有f(x)0，所以f(x)max0，因为f(x)maxmax，所以解得m0的解集是.(1)求实数a，b的值；(2)求二次函数yax2bx
9、2在区间上的最大值和最小值【思路导引】(1)根据不等式解集的端点即为对应方程的根，利用根与系数的关系求解(2)利用二次函数的图像与性质求函数在指定区间上的最值即可【解析】(1)因为不等式ax2bx20的解集是，所以ax2bx20的根是，所以解得a12，b2.(2)由(1)知y12x22x2，x.对称轴方程为x，所以当x时，ymax；当x时，ymin2，即函数的最大值为，最小值为2.角度2二次函数的实际应用题【典例】如图，有一块矩形的绿地ABCD，经测量BC2百米，CD1百米，BCD90，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在矩形ABCD的边上，不计路的宽度)，EF将绿地分成两部分，且右边
10、面积是左边面积的3倍，设ECx百米，EFy百米(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置(2)当点F在DA上时，求路EF的长度y的取值范围【思路导引】(1)当点F与点D重合时，SCFES矩形ABCD，代入三角形的面积公式即得(2)对CE和DF的大小进行分类讨论，确定y关于x的函数解析式，利用配方法求函数的最值即可【解析】(1)矩形ABCD的面积为S矩形ABCD212，当点F与点D重合时，SCFECECDx，因为SCFES矩形ABCD，所以x，x1，所以E是BC的中点(2)当点F在DA上时，因为S梯形CEFDS矩形ABCD，所以DF1x.当CEDF时，过E作EGCD交DA于点G，在RtEGF中，
11、EG1，GF12x，由勾股定理得y，x；当CEDF，过E作EGCD交DA于G，在RtEGF中，EG1，GF2x1，由勾股定理得y，x；由可得y，所以当x时，ymin1，x0或1时，ymax，所以当x0，1时，路EF的取值范围为1，(百米).解实际应用问题的步骤(1)审：理清题意，读懂题，找出各量之间的关系(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式(5)答：回归实际，明确答案，还原结论提醒：在函数建模中，变量的范围务必结合实际问题确定1二次函数yx22x5有()A最大值5B最小值5C最大值4 D最小值
12、4【解析】选C.配方得y(x1)24，所以当x1时，ymax4.2若二次函数y8x2(m1)xm7的值域是0，)，则m_【解析】根据题意，该函数的最小值为0，故二次函数图像与x轴只有一个公共点，即对应方程的判别式0，即248(m7)0，解得m9或25.答案：9或253近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P36，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Qa2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收
13、益为f(x)(单位：万元).(1)求f(x)及定义域；(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【解析】(1)由题意知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120x)万元，所以f(x)36(120x)2x326，依题意得解得40x80，故f(x)x326，(40x80).(2)令t，则t，所以yt23t26(t6)244，所以当t6，即x72万元时，y的最大值为44万元所以甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时总收益最大，且最大收益为44万元【补偿训练】某商品进货单价为40元，若销售单价为50元，每天可卖出50件如果销售单价每涨1元，每天的销售量就减少1件一天中，为了获得最大利润，
14、则此商品的最佳售价应为多少？并求出最大利润【解析】设商品的售价为x元，利润为y元，则每件商品的利润为(x40)元，销售单价涨了(x50)元，每天少卖(x50)件商品，每天能卖50(x50)(100x)件商品.所以y(100x)(x40)x2140x4 000，由得50x100，所以yx2140x4 000(50x100).因为二次函数yx2140x4 000(50x100)的图像的对称轴为x7050，100，且开口向下，所以当x70时，ymax702140704 000900.故商品的售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润为900元备选类型含参数的二次函数的最值问题(逻辑推理、数学运算
15、)【典例】已知函数f(x)x22ax3，x.(1)当a1时，求函数f(x)的最小值和最大值；(2)当aR时，求函数f(x)的最小值【思路导引】(1)当a1时，f(x)x22x3，根据对称轴与区间的位置关系，可得函数的最值；(2)当aR时，函数f(x)x22ax3的对称轴为xa，从对称轴与区间的三种位置关系进行讨论，求最小值【解析】(1)当a1时，二次函数f(x)x22x3，对称轴为x1在区间内部，且开口向上，所以该函数在3，1上是减少的，在1，5上是增加的，所以当x1时，f(x)minf(1)2，当x3或x5时，f(x)maxf(3)f(5)18.(2)二次函数f(x)x22ax3，对称轴为x
16、a.当a3时，函数f(x)在上递增，所以f(x)minf(3)126a；当3a5时，f(x)在3，a上递减，在a，5上递增，所以f(x)minf(a)a23；当a5时，f(x)在3，5上递减，所以f(x)minf(5)2810a；综上f(x)min含参数的二次函数的最值求解(1)开口向上的最大值或开口向下的最小值一定在距对称轴较远的端点值处，所以求解时需讨论对称轴数值与区间中间值的大小；(2)开口向上的最小值或开口向下的最大值求解时，需讨论对称轴数值与区间端点值的大小，即分对称轴在区间左侧、右侧和内部设函数f(x)x22x2，x，tR，求函数f(x)的最小值【解析】f(x)x22x2(x1)2
17、1，x，tR，函数图像的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数f(x)在区间上是增加的，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，f(x)min1二次函数y2(x5)24的顶点坐标为()A(5，4) B(5，4) C(5，4) D(5，4)【解析】选B.因为二次函数y2(x5)24，所以该函数的顶点坐标为(5，4).2若函数yx26x7，则它在2，4上的最大值、最小值分别是()A9，15 B12，15C9，16 D9，12【解析】选C.函数的对称轴为x3，所以当x3时，函数取得最小值为16，当x2时，函数取得最大值为9.3(教材习题改编)函数y3x22，x的值域为()A BC2，) D【解析】
18、选B.由题意得函数f(x)3x22图像的对称轴为x0，所以函数f(x)3x22在2，0)上是减少的，在0，1上是增加的，所以f(x)minf(0)2，又f(2)10，f(1)1，所以f(x)max10，所以函数的值域为.4若函数f(x)(a1)x22x5的图像恒在x轴的上方，则实数a的取值范围是_【解析】当a10时，f(x)2x5，此直线图像不是恒在x轴上方，不成立；当a10，即a1时，若图像恒在x轴上方，则解得a.综上可知实数a的取值范围是.答案：5已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2，3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若g(x)f(x)mx在2，4上是单调函数，求m的取值范围【解析】(1)由题意得函数f(x)a(x1)22ba(a0)，因为函数f(x)在区间2，3上单调递增，所以解得a1，b0.(2)g(x)x2(2m)x2在2，4上是单调函数，所以12或14，解得m2或m6.关闭Word文档返回原板块