1、3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表1.下列命题正确的是()A.(logax)=B.(logax)=C.(3x)=3xD.(3x)=3xln3答案:D2.若y=ln x,则其图象在x=2处的切线斜率是()A.1B.0C.2D.解析:因为y=,所以y|x=2=,故图象在x=2处的切线斜率为.答案:D3.若y=sin x,则y=()A.B.-C.D.-解析:y=cos x,y=cos.答案:A4.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cos x)=-sin x.由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x
2、)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:观察可知偶函数的导函数是奇函数,由f(-x)=f(x)知f(x)为偶函数,故g(x)为奇函数,从而g(-x)=-g(x).答案:D5.函数f(x)=,则f(x)=.解析:因为f(x)=,所以f(x)=.答案:6.曲线y=ln x与x轴交点处的切线方程是.解析:因为曲线y=ln x与x轴的交点为(1,0),所以y|x=1=1,切线的斜率为1,所求切线方程为y=x-1.答案:y=x-17.设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最短距离.解:根据题意,设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切的切点为P,该切点即为与y=
3、x距离最近的点,如图,即求在曲线y=ex上斜率为1的切线,由导数的几何意义可求解.令P(x0,y0),因为y=(ex)=ex,所以由题意得=1,得x0=0,代入y=ex,y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得最短距离为.8.已知点P在曲线y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线.(1)求a的值;(2)求过点P与直线l垂直的直线方程.分析:(1)点P在曲线上,将其坐标代入曲线方程即可求得a;(2)利用导数先求直线l的斜率,即可得到所求直线的斜率,然后用点斜式写出所求直线方程.解:(1)因为P在曲线y=cos x上,所以a=cos.(2)因为y=-sin x,所以kl=y=-sin=-.又因为所求直线与直线l垂直,所以所求直线的斜率为-,所以所求直线方程为y-,即y=x-.
