1、2024/5/29平面向量数量积运算律2024/5/29规定：零向量与任意向量的数量积为0，即00a1OBba向量叫做向量 在向量 上的正射影已知两个非零向量a 和b，它们的夹角为，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b，即|cos,a ba b|cos,a ba ba b 平面向量数量积运算律bcos叫做正射影 的数量 1OB2024/5/29（1）e a=a e=|a|cos（2）aba b=0 （3）当a 与b 同向时，a b=|a|b|，当a 与b 反向时，a b=|a|b|特别地 aaaaaa|2 或（4）|cosbaba（5）a b|a|b|平面向量数量积运算律2
2、、判断垂直3、求向量的模4、求向量的夹角2024/5/29|cos,a ba ba b|cos,b ab ab aoB1BA,a bb aAOB 显然abba而=|cos,|cos,b ab aa ba b所以a bb a 即：交换律平面向量数量积运算律2024/5/29)()a ba bab 所以（平面向量数量积运算律aabb由于 与共线，与共线,a bab0()()cos,cos,()(cos,)cos,()(cos,cos,ababa baba ba baba baba bababababab时 )2024/5/29)()a ba bab 所以（平面向量数量积运算律aabb由于 与共线，
3、与共线,a bab0()()cos,cos,()(cos,)cos,()(cos,cos,ababa baba ba baba baba bababababab 时 )cos,cos,cos,a ba bab 2024/5/29平面向量数量积运算律11()cabc ac b1|cos,|(|cos,)|a ba ba baba ba b 如图所示：所以：()cabc OB1111,OAacOAABbcA BOBabcOB在向量 上的射影是，在向量 上的射影为，在向量 上的射影为，1111111c OBc OBc OAc A Bc ac bc OAc A B而2024/5/29平面向量数量积运算
4、律（1）（交换律）（2)（3）（分配律）a bb a ()()()a ba bab ()a b ca c b c 运算律总结如下：2024/5/29（1）一般地，()（）（2），0 ,（3）有如下常用性质：（）（）平面向量数量积运算律想一想：向量的数量积满足结合律吗？2024/5/29平面向量数量积运算律例1 求证：（1）（2）22()()ab abab222()2abaa bb 例2 已知，a与b的夹角为，求60|6a|4b(2)(3)abbb例3 已知，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量,与互相垂直？|3a|4b akbakb2024/5/292222(1)()()ab abaa
5、 bb abab 解：例1 求证：（1）（2）22()()ab abab222()2abaa bb 22222(2)()2abaa ba bbaa bb 平面向量数量积运算律2024/5/29例2 已知，a与b的夹角为，求60|6a|4b(2)(3)abab平面向量数量积运算律22222222(2)(3)3266cos606164664722oababaa bb abaa bbaabb 解：2024/5/29例3 已知，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量,与互相垂直？|3a|4b akbakb2222222-9 16033:44akbakbakbakbakbakbaka bka b k bakbkkk 解：若向量与垂直，根据向量垂直的性质，则（）（）=0（）（）解得或平面向量数量积运算律2024/5/29例4求证：长方形的两条对角线相等ABDC,ADa ABb解：设ACABADabBDADABab222222()2()2ACababaa bbBDababaa bb =0aba b 平面向量数量积运算律22ACBDab=即：AC=BD，长方形对角线相等2024/5/29小结：平面向量数量积运算规律作业：（1）第111页练习A、B（2）预习2.3.3，并做课后练习A平面向量数量积运算律2024/5/29不要做思想的巨人，行动的矮子